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résolu

Bonjour, je bloque sur ces exo sur les suites !

On considère la suite définie par :

U0=1, U1=2 et U(n+2)=(5/2)*U(n+1)-(3/2)Un pour tout n appartenant à l'ensemble des réels

1) calculer U2 et U3
On trouve u2 =7/2 et u3= 23/4 si je me suis pas trompé
Je bloque ici
2) Soit (vn) la suite définie par vn = un+1 -un
a) Exprimer vn+1 en fonction de un+2 et uN+1 puis en fonction de un+1 et un
b) En déduire que (vn) est une suite géométrique
3) Déterminer la somme des n premiers termes de la suite (vn) et en deduire l'expression de un

Merci d'avance

Répondre :

QUANTUMVIZ
Bonjour,

2) a) Vn = Un+1 - Un
Vn+1 = Un+2 - Un+1

Or Un+2 = (5/2) Un+1 - (3/2) Un

On a finalement :
Vn+1 = (5/2)Un+1 - (3/2)Un - Un+1
Vn+1 = (3/2)Un+1 - ( 3/2 )Un

b) Or Un = Vn + Un+1
On a :
Vn+1 = (3/2) Un+1 - (3/2)Vn - (3/2)Un+1
Vn+1 = -(3/2)Vn

(Vn) est donc une suite géométrique de raison q = -3/2 et de premier terme
Vo = U1 - Uo = 2-1 = 1

3) S(Vn) = ( 1 - (-3/2)^(n+1))/(1+3/2)

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