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résolu

Bonjour, je cherche depuis plus de quatre heures et je suis coincée sur la partie C. une autre démarche, quelqu'un pourrait il m'aider, je n'en peux plus.... Merci beaucoup


ABCD est un carré de 4 cm de côté. Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et de [AC], x la longueur AM, et A(x) l'aire totale des deux triangles AMI et DIC. DM de maths sur les aires avec des fonctions. A.Émettre une conjecture à l'aide d'un logiciel sur les variations de cette aire. B.Etude de la fonction A. 1)Calculer A(0) et A(4) (faire une figure dans chaque cas). 2)Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI. Montrer que h/(4-h)=x/4 puis que h=4x/(x+4). 3)Montrer que A(x)=(2(x^2+16))/(x+4) sur [0 ; 4]. 4)Etudier le sens de variation de la fonction A et en déduire la position de M assurant une aire totale minimale. C.Une autre démarche 1)Démontrer que l'aire totale des triangles DCI, AIM et IMB est constante. 2)Expliquer pourquoi l'aire totale de DCI et AIM est minimale lorsque l'aire de IMB est maximale. 3)Montrer que l'aire de IMB s'exprime en fonction de x par B(x)=(2(4x-x^2))/(x+4) sur [0 ;4]. 4)Etudier les variations de la fonction B. 5)Justifier que l'aire de IMB est maximale lorsque I est le point d'intersection du cercle de centre C et de rayon CD avec le segment [AC].




Répondre :

Si x = 0, et x = 4, la surface A est de 16/2 = 8 cm2.
Pour le problème suivant, il faut tracer une parallèle à AB qui passe par i. Cette parallèle coupe AD en un point que j'appelle K. J'espère que tu vois que AMIK et un carré. Donc IK est égal à IM qui vaut h. 
Dans le triangle ADM, on peut dire que IK/AM = KD/AD.
Ceci s'écrit aussi : h/x = (4-h)/4. Ceci donne l'égalité numéro 1 à trouver. 
La 2ème formule à trouver se dérive de la première, en supprimant les dénominateurs. Cela donne :
4 h = x(4-h) = 4x - hx, donc   4h + hx = 4x, ou encore :  h(4+x) = 4x.
Donc :  h = 4x/4+x.
Pour le problème C, tu calcules la surface de CDI qui vaut : (4-h)·4/2 = 8 - 2h
De même la surface de AMB vaut : 4·h/2 = 2h.
La somme des aires de ces deux triangles vaut 8. C'est une constante.
La question de IMB maximale lorsque les deux autres sont minimale est évidente, puisque la somme reste constante. L'un des constituants de la somme peut augmenter. L'autre doit diminuer.
Je ne peux pas aller plus loin. Le Forum m'en empêche.
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