Bonsoir,
ex1:
1)a) Il faut te rappeler de 2 résultats pour arriver à résoudre cette question.
D'abord, une suite arithmétique est de la forme: U(n)=U(0)+nr. Puis que la somme des n termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par:
∑(0≤i≤n)u(i)=(n+1)(u(0)+u(n))/2. On d'abord se servir de ce dernier résultat:
On connait par l'énoncé la somme des 100 premiers termes de la suite donc:
202=∑(0≤i≤100)u(i)
202=(100+1)(u(0)+u(100))/2
202=101(1+u(100))/2
u(100)=(202*2)/101-1
u(100)=3
Comme on connait la formule d'une suite, on peut écrire pour u(100) que:
u(100)=u(0)+100r
3=1+100r
2=100r
r=2/100=1/50
En conclusion, la suite u(n) s'écrit:
u(n)=1+n(1/50)
b) Là, aussi, 2 résultats sont fondamentaux. La forme générale d'une suite géométrique est v(n)=v(0)*q^n. Il faut aussi se rappeler que la somme des n termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par:
∑(0≤i≤n)v(n)=v(0)*(1-q^(n+1))/(1-q)
Par l'énoncé, on connait la somme des 13 premiers termes de la suite donc:
∑(0≤i≤12)v(n)=v(0)*(1-2^(12+1))/(1-2)
24573=-v(0)*(1-8192)
24573=8191v(0)
v(0)=24573/8191
v(0)=3
En conclusion, la suite géométrique v(n) est donnée par:
v(n)=3*2^n
2) Avant de commencer, tu dois te souvenir que montrer qu'une suite u est géométrique est montrer que u(n+1)/u(n)=constante=q
a) Avec u(n)=5^(1-3n) donc:
u(n+1)/u(n)=5^(1-3(n+1))/5^(1-3n)
u(n+1)/u(n)=5^(1-3n-3-1+3n)
(utilisation des propriétés algébriques des puissances)
u(n+1)/u(n)=5^(-3)
u(n+1)/u(n)=1/125
u(n) est donc bien une suite géométrique et sa raison est 1/125.
b)On réalise le même raisonnement:
u(n+1)/u(n)=(2+(2+2^2+...+2^n+2^(n+1))/(2+(2+2^2+...+2^n))
il y a une petite astuce où la somme des puissances de 2 est:
∑(0≤i≤n)2^(i)=2^(n+1)-1 (cela se démontre facilement). On remarque que dans la suite, il manque le terme 2^0 donc:
u(n+1)/u(n)=(2+(2^(n+2)-1-2^0))/(2+(2^(n+1)-1-2^0)
u(n+1)/u(n)=(2^(n+2))/(2^(n+1))
u(n+1)/u(n)=2
u(n) est donc bien une suite géométrique et sa raison est 2
3)a) D'après l'énoncé, on peut noter la relation suivante:
a(n)=(2n+1)²-(2n-1)²
a(n)=4n²+4n+1-(4n²-4n+1)
a(n)=4n²+4n+1-4n²+4n-1
a(n)=8n
On va ensuite montrer la nature de la suite:
a(n+1)-a(n)=8(n+1)-8n
a(n+1)-a(n)=8n+8-8n
a(n+1)-a(n)=8 donc a(n) est une suite arithmétique.
b) La somme des n termes d'une suite arithmétique est donnée par:
∑(1≤i≤n)a(i)=(n-1+1)(u(1)+u(n))/2
∑(1≤i≤n)a(i)=n(8+8n)/2
∑(1≤i≤n)a(i)=4n(1+n)
c) je n'ai pas su faire désolé.
Voilà, j'ai fait ce que j'ai pu, fais en bonne usage, ne te contente pas de recopier.
