Bonjour,
Partie A
1) f(x) = 2x³ - 6x - 4
⇒ f'(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1) = 6(x - 1)(x + 1)
(x - 1) et (x + 1) dont strictement positifs sur [1,5;5]
⇒ f' est positive ⇒ f est croissante
2) f(2) = 16 - 12 - 4 = 0
3) f est strictement croissante sur [1,5;5]
et f(2) = 0
⇒ f est négative sur [1,5;2[ et positive sur ]2;5]
x 1,5 2 5
f(x) - 0 +
Partie B
g(x) = (x³ + 3x² - 9x + 13)/(x - 1)
1) g est de la forme u/v avec :
u(x) = x³ + 3x² - 9x + 13 ⇒ u'(x) = 3x² + 6x - 9
et
v(x) = (x - 1) ⇒ v'(x) = 1
g'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)]/[v(x)]²
= [(3x² + 6x - 9)(x - 1) - (x³ + 3x² - 9x + 13)]/(x - 1)²
= (3x³ - 3x² + 6x² - 6x - 9x + 9 - x³ - 3x² + 9x - 13)/(x - 1)²
= (2x³ - 6x - 4)/(x - 1)²
= f(x)/(x - 1)²
2) g'(x) est du signe de f(x). Donc d'après la partie A :
x 1,5 2 5
f(x) - 0 +
g'(x) - 0 +
g(x) décroiss. croissante
