Bonjour,
ex1)
1)
V₁=1 S₁=1
V₂=3 S₂=9
V₃=6 S₃=36
V₄=10 S₄=100
V₅=15 S₅=225
2)a)
Vn = n(n+1)/2
b) Conjecture : Sn = (Vn)² = n²(n+1)²/4
3) Vrai au rang 1
Hypothèse : Sn = (Vn)² vrai au rang n
Au rang (n+1) :
Sn+1 = Sn + (n+1)³
= (Vn)² + (n+1)(n+1)²
= n²(n+1)²/4 + (n+1)(n+1)²
= [(n+1)²(n² + 4(n+1))]/4
= (n+1)²(n+2)²/4
= (Vn+1)²
Donc vrai au rang n+1
ex 2)
1) f'(x) = [(3 - 2x) - (-2x]/(3 - 2x)² = 3/(3 - 2x)² donc > 0 donc f croissante
2) -1 ≤ U₀ ≤ 0 donc vrai au rang 0
On suppose donc -1 ≤ Un ≤ 0
Au rang suivant : Un+1 = f(Un)
f est croissante sur [-1;0] et -1 ≤ Un ≤ 0
donc : f(-1) ≤ f(Un) ≤ 0
⇒ -1/5 ≤ f(Un) ≤ 0
⇒ -1 ≤ -1/5 ≤ Un+1 ≤ 0 donc vrai au rang n+1
3) Un+1/Un
= 1/(3 - 2Un)
-1 ≤ Un ≤ 0 ⇒ 5 ≥ 3 - 2Un ≥ 3 ⇒ 1/5 ≤ 1/(3 - 2Un) ≤ 1/3
Donc Un+1/Un < 1 ⇒ (Un) croissante
4) Vn+1 = Un+1/(Un+1 - 1)
= Un/(3 -2Un) x (3 - 2Un)/3(Un -1)
= Un/3(Un - 1)
= 1/3 x Vn
⇒ (Vn) suit géo de raison 1/3 et de premier terme V₀ = -1/-2 = 1/2
b) Vn = 1/2 x (1/3)ⁿ
c) Vn = Un/(Un - 1) ⇒ Un = Vn/(Vn - 1)
⇒ Un = ...
