bonjour
a)
on va étudier la différence
U(n+1)- Un
U(n+1) =Un +2n +3
U(n+1)-Un =Un +2n +3 - Un
= 2n+3
tu connais le signe de n car n ∈ N ( ensemble des entiers naturels)
entiers naturels = entiers de 0 à +∞ ( ils sont positifs)
n ≥ 0 alors 2n+3 est toujours > 0
la suite est donc croissante
b)
initialisation
pour
n=0
d'une part Uo =1 énoncé
si n=0
d'autre part (n+1)²
=(0+1)² = 1
1=1 donc vrai
donc la propriété
est vraie au rang 0 c'est à dire pour n =
0
hérédité
supposons que pour un entier naturel
k ≥0
Uk ≥ (k +1 )² (hypothèse de récurrence)
il faut démontrer que la propriété est
vraie pour l'entier suivant:
c'est à dire que U(k+1) = (k+1+1)² =(k+2)²
hypothèse de récurrence
Uk = (k+1)² Vrai
U(k+1)= Uk +2k+3
comme uk = (k+1)²
alors on a :
U(k+1)= (k+1)² +2k+3
=k²+2k+1+2k+3
=k²+4k+4
=(k+2)²
donc la propriété est
héréditaire
conclusion
proposition vraie pour k =0
par
hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc
vraie pour tout nombre entier n, n≥0
c)
Un =(n+1)²
=> Un =n²+2n+1
n²+2n+1≥ n² car 2n+1≥1
donc Un ≥ n²
d)
la suite est minorée par 1
car Uo= 1
et la suite est croissante
Un n'est pas majorée
Un≥n²
limite n² quand n tend vers +∞= +∞
