Bonsoir,
Si j'en crois ton énoncé, nous avons la fonction f telle que:
f(x)=(R³/24[tex] \pi [/tex]²)*x²*(√(4[tex] \pi [/tex])²-x²)
Nous avons une fonction de type f(x)=u(x)v(x) donc sa dérivée f' est de la forme (u'v+uv') donc:
f'(x)=2x(R³/24[tex] \pi [/tex]²)(√(4[tex] \pi [/tex])²-x²)-2x(R³/24[tex] \pi [/tex]²)
f'(x)=2x(R³/24[tex] \pi [/tex]²)(√((4[tex] \pi [/tex])²-x²)-1)
Pour étudier les variations, nous allons étudier le signe de f'.
Comme x∈[0.2[tex] \pi [/tex]] donc 2x(R³/24[tex] \pi [/tex]²)>0
donc le signe de f' dépend de (√(4[tex] \pi [/tex]²)-x²)-1:
-x²+2[tex] \pi [/tex]+1=0
Δ=b²-4ac=0-4(2pi+1)(-1)
Δ=4(2pi+1)
x(1)=2√(pi+1)
x(2)=-2√(pi+1)
Donc f'(x)≥0 si x∈[-2√(pi+1);2√(pi+1)] donc f croissante sur cette intervalle
f'(x)≤0 si x∈]-∞;-2√(pi+1)]U[2√(pi+1)] donc f décroissante sur cette intervalle
