Bonjour
Enarmi
[tex]1)\ (3+i)z+4i=-3+23i\\(3+i)z=-3+23i-4i\\(3+i)z=-3+19i\\\\z=\dfrac{-3+19i}{3+i}\\\\z=\dfrac{(-3+19i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}\\\\z=\dfrac{-9+3i+57i+19}{9+1}\\\\z=\dfrac{10+60i}{10}=\dfrac{10(1+6i)}{10}\\\\\boxed{z=1+6i}[/tex]
[tex]2)\ \left\{\begin{matrix}(1+i)z+(3-2i)z'=14-16i\\3z+(4-i)z'=12-6i \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}-3[(1+i)z+(3-2i)z']=-3[14-16i]\ \ en\ multipliant\ par\ -3\\(1+i)[3z+(4-i)z']=(1+i)[12-6i]\ \ en\ multipliant\ par\ (1+i) \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}-3(1+i)z-3(3-2i)z'=-3(14-16i)\\3(1+i)z+(1+i)(4-i)z'=(1+i)(12-6i) \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}-3(1+i)z-(9-6i)z'=-42+48i\\3(1+i)z+(5+3i)z'=18+6i \end{matrix}\right.[/tex]
Additionnons membre à membre ces deux équations.
[tex]-(9-6i)z'+(5+3i)z'=-42+48i+18+6i\\\\(-9+6i+5+3i)z'=-24+54i\\\\(-4+9i)z'=-24+54i\\\\z'=\dfrac{-24+54i}{-4+9i}=\dfrac{6(-4+9i)}{-4+9i}\\\\\Longrightarrow\boxed{z'=6}[/tex]
Remplaçons z' par 6 dans la seconde équation de l'énoncé.
[tex]3z+(4-i)\times6=12-6i\\\\3z+24-6i=12-6i\\\\3z=12-6i-24+6i\\\\3z=-12\\\\\Longrightarrow\boxed{z=-4}[/tex]
Par conséquent, la solution du système est z = -4 et z' = 6.
3) a) Voir pièce jointe.
[tex]b)\ AB=|z_B-z_A|=|1+6i-(-4)|=|1+6i+4|=|5+6i|\\\\AB=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\\\\\\AC=|z_C-z_A|=|1-6i-(-4)|=|1-6i+4|=|5-6i|\\\\AC=\sqrt{5^2+(-6)^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{AB=AC=\sqrt{61}}[/tex]
D'où, le triangle ABC est isocèle en A.
[tex]c)\ \text{Affixe du milieu de [AD]}=\dfrac{z_A+z_D}{2}=\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\\\text{Affixe du milieu de [BC]}=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{1+6i+1-6i}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
Par conséquent, [AD] et [BC] se coupent en leur milieu E dont l'affixe est 1.
d) Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu E.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Les côtés [AB] et [AC] sont de même longueur (voir question b)
ABCD est un parallélogramme et deux côtés consécutifs [AB] et [AC] sont de même longueur.
Par conséquent, ABCD est un losange.
c) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
Donc
[tex]Aire_{ABC}=\dfrac{BC\times AE}{2}=\dfrac{12\times5}{2}=30\\\\\Longrightarrow\boxed{Aire_{ABC}=30}[/tex]
Par conséquent l'aire du losange = 2 × 30 = 60
