Bonjour Nature12,
1) a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q.
En utilisant la définition de la suite géométrique, nous avons :
[tex]\left\{\begin{matrix}b=aq\\c=bq \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \left\{\begin{matrix}b=aq\\\\b=\dfrac{c}{q}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow b\times b=(aq)\times\dfrac{c}{q}\\\\\Longrightarrow b^2=\dfrac{aqc}{q}\\\\\Longrightarrow\boxed{b^2=ac}\ \ \text{(en simplifiant la fraction par q)}[/tex]
2) Aucune donnée de l'énoncé ne permet de déduire que q > 0.
Nous pouvons également admettre q < 0 comme nous le montrerons dans la réponse 4)
[tex]3)\ (S):\left\{\begin{matrix}a+b+c=19\\2a+b-c=5 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c=19\\(a+b+c)+(2a+b-c)=19+5 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c=19\\a+b+c+2a+b-c=24\end{matrix}\right.\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c=19\\3a+2b=24 \end{matrix}\right.[/tex]
Or a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q.
Donc [tex]\boxed{b=aq}\ \ et \ \boxed{c=aq^2}[/tex]
Nous en déduisons alors que le système devient :
[tex]\left\{\begin{matrix}a+aq+aq^2=19\\3a+2aq=24 \end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\{\begin{matrix}a(1+q+q^2)=19\\a(3+2q)=24 \end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow(S')[/tex]
Par conséquent, le système (S) est équivalent au système (S').
4) Résolvons le système (S').
[tex]\left\{\begin{matrix}a(1+q+q^2)=19\\a(3+2q)=24 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=\dfrac{19}{1+q+q^2}\\\\a=\dfrac{24}{3+2q} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{19}{1+q+q^2}=\dfrac{24}{3+2q}\\\\\\24(1+q+q^2)=19(3+2q)\\\\24+24q+24q^2=57+38q\\\\24q^2+24q-38q+24-57=0\\\\24q^2-14q-33=0\\\Delta=(-14)^2-4\times24\times(-33)=196+3168=3364\ \textgreater \ 0\\\\q_1=\dfrac{14-\sqrt{3364}}{2\times24}=\dfrac{14-58}{48}=-\dfrac{44}{48}=-\dfrac{11}{12}[/tex]
[tex]q_2=\dfrac{14+\sqrt{3364}}{2\times24}=\dfrac{14+58}{48}=\dfrac{72}{48}=\dfrac{3}{2}[/tex]
Remplaçons q par ces valeurs dans l'équation [tex]a=\dfrac{24}{3+2q}[/tex]
[tex]Si\ q=-\dfrac{11}{12},\ alors\ a=\dfrac{24}{3+2\times(-\dfrac{11}{12})}=\dfrac{24}{3-\dfrac{11}{6}}=\dfrac{24}{\dfrac{7}{6}}=24\times\dfrac{6}{7}=\dfrac{144}{7}\\\\\\Si\ q=\dfrac{3}{2},\ alors\ a=\dfrac{24}{3+2\times(\dfrac{3}{2})}=\dfrac{24}{3+3}=\dfrac{24}{6}=4[/tex]
Les solutions du système (S') sont [tex]\boxed{q=-\dfrac{11}{12}\ \ et\ \ a=\dfrac{144}{7}}\ \ et\ \ \boxed{q=\dfrac{3}{2}\ \ et\ \ a=4}[/tex]
Solutions du système (S).
[tex]Si\ q=-\dfrac{11}{12},\ alors\ \boxed{a=\dfrac{144}{7}}\\\\\boxed{b}=aq=\dfrac{144}{7}\times(-\dfrac{11}{12})=\dfrac{144\times(-11)}{7\times12}=\dfrac{12\times(-11)}{7}=\boxed{-\dfrac{132}{7}}\\\\\boxed{c}=bq=-\dfrac{132}{7}\times(-\dfrac{11}{12})=\dfrac{-132\times(-11)}{7\times12}=\boxed{\dfrac{121}{7}}[/tex]
[tex]Si\ q=\dfrac{3}{2},\ alors\ \boxed{a=4}\\\\\boxed{b}=aq=4\times(\dfrac{3}{2})=\dfrac{12}{2}=\boxed{6}\\\\\boxed{c}=bq=6\times(\dfrac{3}{2})=\dfrac{18}{2}=\boxed{9}[/tex]
Par conséquent, le système (S) admet comme solutions :
[tex]\boxed{a=\dfrac{144}{7}\ ;\ b=-\dfrac{132}{7} ; c=\dfrac{121}{7}}\ \ et\ \ \boxed{a=4\ ;\ b=6\ ;\ c=9} [/tex]
Preuve:
Vérifions la première solution :
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{144}{7}-\dfrac{132}{7}+\dfrac{121}{7}=19\\\\2\times\dfrac{144}{7}-\dfrac{132}{7}-\dfrac{121}{7}=5 \end{matrix}\right.[/tex]
Vérifions la seconde solution :
[tex]\left\{\begin{matrix}4+6+9=19\\\\2\times4+6-9=5 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, ces deux solutions conviennent.
