Bonjour,
C'est un gros boulot ! Donc je te montre pour le a) et tu pourras faire les autres...
Pour chacune des fonctions polynômes f suivantes :
-indiquer la valeur des coefficients a,b et c ;
-calculer le discriminant Δ ;
-dire si la fonction f admet des racines, et si oui combien.
Préciser alors leur(s) valeur(s).
a. f(x) : x²- 2x + 3 ;
Etapes de résolution
- Le polynôme est de la forme ax² + bx + c = 0
a = 1 ; b = -2 ; c = 3
- Son discriminant noté Δ (delta) est calculé à partir de la formule à connaître par coeur Δ = (b²−4ac)
je détaille :
b² = -2²
4ac = 4(1×3) = 12
ce qui donne donc Δ = (−2)² -12 = 4 - 12 = -8
Le discriminant du polynôme est donc égal à −8
Etant donné que le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de solution dans R.
Phrase réponse : l'équation f(x) :x² -2x +3 n'a pas de solution.
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b) f(x) : 2x² -3x +1
donc 2x² -3x +1 = 0
forme du polygone ax² + bx + c → a = 2 ; b = -3 ; c=1
Calcul du discriminant Δ = (b² - 4ac) = (-3)² - 4(2×1) = 3² -8 = 9-8 = 1
d'où Δ = 1
Le discriminant est positif, l'équation admet deux solutions qui sont données par ces 2 formules à savoir :
x₁ = (-b - √Δ) / 2a
x₂ = (-b + √√Δ) / 2a
x₁ = (-b - √Δ) / 2a = - (-3) - √1) / 2×2 = 2/4 = 1/2
x₂ = (-b + √Δ) / 2a = -(-3) + √1) / 2×2 = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1
Les solutions de l'équation 2x² -3x + 1 sont {1/2 ; 1}
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c) f(x) : 3 + 2x - x²
le polynôme est de la forme ax² + bx + c
avec a = -1 ; b = 2 et c = 3
Calcul du discriminant avec toujours la même formule Δ = (b² - 4ac)
Δ = (2² - 4(-1×3)
Δ= 4 -4(-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
Le discriminant du polynôme est donc égal à 16, il est donc positif.
2 solutions possible avec les 2 formules à savoir par coeur:
x₁ = (-b - √Δ) / 2a
x₂ = (-b + √Δ) / 2a
On applique pour faire les calculs
x₁ = (-b - √Δ) / 2a → (-2 - √16) / 2×1 → (-2 -4) / -2 = 3
x₂ = (-b + √Δ) / 2a → (-2 + √16) / 2×-1 → (-2 +4) / -2 = -1
Les solutions de l'équation 3 + 2x - x² sont {3 ; -1}
