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résolu

BONJOUR , j'ai un dm de maths a faire pour jeudi et celle la comporte deux exercices j'ai réussit a faire le prémiere exercice mais la deuxiemme j'arrive pas est ce que il ya quelqu'un pour m'aidez si vous plait
On considère la suite Sn définie pour tout n de N ,n>_ 1 , par :

Sn=Σ en haut k=n et en bas k=1 k/ n^2=1/n^2+2/n^2 +.........+n/n^2
1. Calculez S1 ,S2 ,S3.
2.Calculez Sn pour tout n de N
3. Démontrez que la suite (Sn) est décroissante sur N
4.Calculez lim Sn quand n tend vers + linfini


aidez moi si vous plait
mercii d'avance !!

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1)
S1 = 1/1² = 1
S2 = 1/2² + 2/2² = 3/4
S3 = 1/3² + 2/3² + 3/3² = 6/9 = 2/3

2)

Sn = 1/n² + 2/n² + .... + n/n²

= (1 + 2 + .... + n)/n²

= [n(n +1)/2]/n²

= n(n + 1)/2n²

= (n + 1)/2n

3) Sn+1 = 1/(n + 1)² + 2/(n + 1)² + ....  + (n + 1)/(n + 1)²

= (n + 1)(n + 2)/2(n + 1)²

= (n + 2)/2(n + 1)

Sn+1 - Sn = (n + 2)/2(n + 1) - (n + 1)/2n

= [n(n + 2) - (n + 1)(n + 2)]/2n(n + 1)

= (n² + 2n - n² - 2n - n - 2)/2n(n + 1)

= - (n + 2)/2n(n + 1) < 0

⇒ (Sn) décroissante

4) lim Sn quand n→+∞

= lim (n + 1)/2n

= lim n/2n + lim 1/2n

= 1/2
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