Bonjour Charline661
[tex]1)\ C(x)=x^3-12x^2+60x\\\\C'(x)=3x^2-24x+60\\\\\Delta=(-24)^2-4\times3\times60=-144\ \textless \ 0\Longrightarrow\text{pas de racines}\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&&&+\infty\\C'(x)&&&+&&\\&&&&&\\C(x)&0&&\nearrow&&+\infty\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la fonction C est strictement croissante sur ]0 ; + oo[
2) a) Coût moyen de fabrication de 500 kg.
[tex]500\ kg=\dfrac{1}{2}\ tonne[/tex]
[tex]C_M(\dfrac{1}{2})=\dfrac{C(\dfrac{1}{2})}{\dfrac{1}{2}}=C(\dfrac{1}{2})\times2=[(\dfrac{1}{2})^3-12\times(\dfrac{1}{2})^2+60\times\dfrac{1}{2}]\times2\\\\\\\Longrightarrow\boxed{C_M(\dfrac{1}{2})=\dfrac{217}{4}=54,25}[/tex]
Par conséquent, le coût moyen de fabrication de 500 kg est de 54250 €.
[tex]b)\ C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{x^3-12x^2+60x}{x}=\dfrac{x(x^2-12x+60)}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{C_M(x)=x^2-12x+60}[/tex]
[tex]C_M'(x)=2x-12\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&6&&+\infty\\C_M'(x)&&-&0&+&\\&&&&&&C_M(x)&&\searrow&24&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la fonction CM est strictement décroissante sur ]0 ; 6[ et est strictement croissante sur l'intervalle ]6 ; +oo[
3) Bénéfice = prix de vente - coût de production.
[tex]B(x)=60x-(x^3-12x^2+60x)\\\\B(x)=60x-x^3+12x^2-60x\\\\\Longrightarrow\boxed{B(x)=-x^3+12x^2}\\\\\\b)\ B'(x)=-3x^2+24x=-3x(x-8)\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&8&&+\infty\\B'(x)&0&+&0&-&\\&&&&&\\B(x)&&\nearrow&256&\searrow& \end{array}[/tex]
c) Le bénéfice est maximal pour x = 8.
d) Graphique en pièce jointe.
