Bonjour Usainbolt
Exercice I
[tex]a)\ u_{n+1}=u_n+2n+3\\\Longrightarrow u_{n+1}-u_n=2n+3\\\Longrightarrow u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\ \ \ (car\ \ n\ge0\Longrightarrow 2n+3\ \textgreater \ 0)\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite [tex](u_n)[/tex] est strictement croissante.
b) Montrons que [tex]u_n\ \textgreater \ n^2\ (n\in\mathbb{N})[/tex]
Initialisation
Montrons que [tex]u_0\ \textgreater \ 0^2[/tex]
En effet
[tex]\left\{\begin{matrix}u_0=1\\\\0^2=0 \end{matrix}\right.\ \ avec\ 1\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]u_0\ \textgreater \ 0^2[/tex]
Hérédité
Si pour un nombre naturel n, nous avons [tex]u_n\ \textgreater \ n^2[/tex],
Alors montrons que [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ (n+1)^2[/tex]
En effet
[tex]u_{n+1}=u_n+2n+3\\\\u_{n+1}\ \textgreater \ n^2+2n+3\ \ \ (car\ u_n\ \textgreater \ n^2)\\\\u_{n+1}\ \textgreater \ n^2+2n+3\ \textgreater \ n^2+2n+1\ \ (car\ 3\ \textgreater \ 1)\\\\u_{n+1}\ \textgreater \ n^2+2n+1\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ (n+1)^2}\ \ \ car\ n^2+2n+1=(n+1)^2[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que [tex]u_n\ \textgreater \ n^2\ (n\in\mathbb{N})[/tex]
c) Sachant que [tex]u_n\ \textgreater \ n^2[/tex] et que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty[/tex], nous en déduisons que [tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}[/tex]
[tex]d)\ \boxed{u_0=1}\\\\u_1=u_0+2\times0+3=1+0+3=4\Longrightarrow\boxed{u_1=4}\\\\u_2=u_1+2\times1+3=4+2+3=9\Longrightarrow\boxed{u_2=9}\\\\u_3=u_2+2\times2+3=9+4+3=16\Longrightarrow\boxed{u_3=16}\\\\\boxed{u_4=25}\ \ et\ \ \boxed{u_5=36}[/tex]
Nous pouvons donc conjecturer que [tex]\boxed{u_n=(n+1)^2\ \ (n\in\mathbb{N})}[/tex]
Démonstration par récurrence.
Initialisation
[tex]u_0=1=(0+1)^2[/tex]
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité
Si pour un entier naturel n, nous avons [tex]u_n=(n+1)^2[/tex],
alors montrons que [tex]u_{n+1}=(n+2)^2[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=u_n+2n+3\\u_{n+1}=(n+1)^2+2n+3\ \ (par\ hypoth\grave{e}se)\\u_{n+1}=n^2+2n+1+2n+3\\u_{n+1}=n^2+4n+4\\\\\boxed{u_{n+1}=(n+2)^2}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que [tex]u_n=(n+1)^2\ \ (n\in\mathbb{N})[/tex]
Exercice II
[tex]a)\ f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}\\\\f'(x)=\dfrac{(3x+2)'(x+4)-(3x+2)(x+4)'}{(x+4)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3(x+4)-(3x+2)\times1}{(x+4)^2}=\dfrac{3x+12-3x-2}{(x+4)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{10}{(x+4)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
Puisque la dérivée f '(x) est strictement positive, la fonction f est strictement croissante sur ]-4;+oo[
b) Graphique en pièce jointe
Nous pouvons conjecturer que [tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}[/tex]
c) Récurrence
Initialisation
Montrons que [tex]0\le u_1\le u_0\le4[/tex]
Nous savons que [tex]u_0=4\ \ et\ \ u_1=f(u_0)=\dfrac{3u_0+2}{u_0+4}=\dfrac{3\times4+2}{4+4}=\dfra{12}{8}=1,75[/tex]
Puisque [tex]0\le1,75\le4\le4[/tex], nous en déduisons que [tex]0\le u_1\le u_0\le4[/tex]
Hérédité
Si [tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le4[/tex], montrons que [tex]0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le4[/tex]
L'inégalité [tex]0\le u_{n+2}[/tex] est vraie car [tex]u_{n+2}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}+4}\Longrightarrow\boxed{u_{n+2}\ge0}\ \ car\ u_{n+1}\ge0[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+2}\le u_{n+1}[/tex]
En effet
[tex]u_{n+1}\le u_n[/tex] par hypothèse de récurrence
[tex]f(u_{n+1})\le f(u_n)[/tex] car f est strictement croissante.
soit [tex]\boxed{u_{n+2}\le u_{n+1}}[/tex]
Montrons enfin que [tex]u_{n+1}\le4[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\le\dfrac{3\times4+2}{0+4}\le\dfrac{14}{4}\le4\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\le4}[/tex]
D'où [tex]0\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le4[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré que [tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le4[/tex] pour tout entier naturel n.
d) Puisque [tex]0\le u_{n+1}\le u_n\le4[/tex], nous en déduisons que la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante et bornée inférieurement par 0.
Cette suite [tex](u_n)[/tex] est donc convergente.
e) si [tex]\ell=\lim\limits_{n\to+\infty}u_n[/tex],
alors
[tex]\ell=f(\ell)\ \ \ avec\ \ \ell\ge0\\\\\ell=\dfrac{3\ell+2}{\ell+4}\\\\\ell(\ell+4)=3\ell+2\\\ell^2+4\ell=3\ell+2\\\ell^2+\ell-2=0\\\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=9\\\\\ell_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\ \ (\grave{a}\ rejeter\ car\ \ell\ge0)\\\\\ell_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
D'où [tex]\boxed{\ell=1}[/tex]
Par conséquent;
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}[/tex]
