Bonjour,
Pour le 5)
La suite est définie implicitement avec les 2 termes précédents. Donc il faut utiliser cela pour la récurrence.
On vérifie que la propriété est vraie pour n = 0 et n = 1
On suppose qu'elle est vraie au rangs n ET (n-1)
Alors Un+2 = 5Un+1 - 6Un
= 5(5Un - 6Un-1) - 6Un
= 19Un - 30Un-1
= 19(2ⁿ + 3ⁿ)/5 - 30(2ⁿ⁻¹ + 3ⁿ⁻¹)/5
= 1/5[2ⁿ⁻¹(19x2 - 30) + 3ⁿ⁻¹(19x3 - 30)]
= 1/5[8x2ⁿ⁻¹ + 27x3ⁿ⁻¹]
= 1/5(2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹)
CQFD
Exo 6
b) Un+1 - Un = Un/3 + 4 - Un = -2Un/3 + 4
Un ≤ 6 ⇒ -2Un/3 + 4 ≥ 6 x -2/3 + 4
Soit Un+1 - Un ≥ 0 ⇒ (Un) croissante
Le cas d'égalité est peut-être à regarder de plus près
Exo 7
en passant par la fonction auxiliaire f(x) = 3x² - 4x - 2
f'(x) = 6x - 4
x 0 2/3 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. crois.
f(2/3) = -10/3
U0 = 3 et f est croissante sur [3;+∞[ ⇒ ∀n∈N, Un ≥ 3
b) Un+1 - Un = 3Un² - 5Un - 2
= 3[(Un - 5/6)² - 25/36 - 2/3]
= 3[(Un - 5/6)² - 49/36)
Un ≥ 3
⇒ (Un - 5/6)² ≥ (13/6)²
Et (16/6)² ≥ 49/36
⇒ Un+1 - Un > 0
Il doit y avoir mieux, mais ça me semble correct si je n'ai pas bugué dans les calculs
