Bonjour
Usainbolt
Exercice III
1) La conservation du volume total d'eau dans le circuit se traduit par [tex]\boxed{a_n+b_n=2200}[/tex]
2) [tex]a_{n+1}[/tex] est le volume d'eau contenu dans le bassin A à la fin du (n+1)ème jour.
Puisque chaque jour, nous retirons 10% du volume d'eau du bassin A, il en reste 90%, soit [tex]0,9a_n[/tex]
A cela, nous ajoutons 15% du volume d'eau du bassin B, soit [tex]0,15b_n[/tex]
D'où
[tex]\boxed{a_{n+1}=0,9a_n+0,15b_n}\\\\a_{n+1}=0,9a_n+0,15(2200-a_n)\ \ car\ a_n+b_n=2200\\\\a_{n+1}=0,9a_n+0,15\times2200-0,15a_n\\a_{n+1}=0,75a_n+330\\\\\boxed{a_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_n+330}[/tex]
3) Les lignes incomplètes de l'algorithme sont les suivantes :
Traitement Tant que [tex]\boxed{a\ \textless \ 1100}[/tex], faire
a prend la valeur [tex]\boxed{\dfrac{3}{4}a+330}[/tex]
n prend la valeur [tex]\boxed{n+1}[/tex]
[tex]4)\ u_n=a_n-1320\\\\a)\ u_{n+1}=a_{n+1}-1320\\\\u_{n+1}=(\dfrac{3}{4}a_{n}+330)-1320\\\\u_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_{n}-990\\\\u_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_{n}-\dfrac{3}{4}\times1320\\\\u_{n+1}=\dfrac{3}{4}(a_{n}-1320)\\\\\boxed{u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n}[/tex]
D'où la suite (Un) est une suite géométrique de raison 3/4 et dont le premier terme est [tex]\boxed{u_0}=a_0-1320=800-1320=\boxed{-520}[/tex]
[tex]b)\ u_n=u_0\times q^n\\\\\boxed{u_n=-520\times(\dfrac{3}{4})^n}[/tex]
De plus,
[tex]u_n=a_n-1320\Longrightarrow a_n=1320+u_n\Longrightarrow\boxed{a_n=1320-520\times(\dfrac{3}{4})^n}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{3}{4})^n=0\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1320-520\times0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1320}[/tex]
[tex]d)\ b_n=2200-a_n\\\\\Longrightarrow b_n=2200-(1320-520\times(\dfrac{3}{4})^n)\\\\\Longrightarrow\boxed{b_n=880+520\times(\dfrac{3}{4})^n}[/tex]
5) Si les deux bassins auront le même volume d'eau, chacun d'eux aura donc un volume égal à 2200/2 = 1100 m^3.
[tex]a_n=1100\\\\1320-520\times(\dfrac{3}{4})^n=1100\\\\520\times(\dfrac{3}{4})^n=1320-1100\\\\520\times(\dfrac{3}{4})^n=220\\\\(\dfrac{3}{4})^n=\dfrac{220}{520}\\\\(\dfrac{3}{4})^n=\dfrac{11}{26}\\\\\ln(\dfrac{3}{4})^n=\ln\dfrac{11}{26}\\\\n\times\ln(\dfrac{3}{4})=\ln\dfrac{11}{26}\\\\n=\dfrac{\ln\dfrac{11}{26}}{\ln(\dfrac{3}{4})}\\\\\boxed{n\approx3}[/tex]
Or
[tex]a_3=1320-520\times(\dfrac{3}{4})^3=1100,625\\\\b_3=880+520\times(\dfrac{3}{4})^3=1099,375\\\\1100,625-1099,375=1,75[/tex]
Par conséquent, au bout de 3 jours, les deux bassins auront presque le même volume d'eau au mètre cube près.
Exercice IV
1) Dans la cellule C2, nous avons écrit [tex]\boxed{=B2+2*A2*A2+3*A2+5}[/tex]
Dans la cellule B3,nous avons écrit [tex]\boxed{=2*B2+2*A2*A2-A2}[/tex]
2) Par la colonne C du tableau, nous pouvons conjecturer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2 et dont le premier terme est 7.
Démontrons-le.
[tex]v_0=u_0+0+0+5=2+5=7\Longrightarrow\boxed{v_0=7}[/tex]
[tex]v_{n+1}=u_{n+1}+2(n+1)^2+3(n+1)+5\\\\v_{n+1}=(2u_n+2n^2-n)+2(n^2+2n+1)+3n+3+5\\\\v_{n+1}=2u_n+2n^2-n+2n^2+4n+2+3n+3+5\\\\v_{n+1}=2u_n+4n^2+6n+10\\\\v_{n+1}=2(u_n+2n^2+3n+5)\\\\\boxed{v_{n+1}=2v_n}[/tex]
D'où la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2 et dont le premier terme est 7.
Par conséquent,
[tex]v_n=v_0\times q^n\\\\\Longrightarrow\boxed{v_n=7\times2^n}\\\\u_n=v_n-2n^2-3n-5\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=7\times2^n-2n^2-3n-5}[/tex]
