Bonjour ;
1) On peut conjecturer que la suite (u_n) est décroissante , minorée par 0 ,
convergente ayant pour limite 0 .
2) (u_(n+1))/(u_n) = 1/√(1 + u²_n) .
On a : pour tout n appartenant à n , u_n > 0 ,
donc : 1 + u²_n > 1 ,
donc : √(1 + u²_n) > 1 ,
donc : 1/√(1 + u²_n) < 1 ,
donc : (u_(n+1))/(u_n) < 1 ,
donc : la suite (u_n) est décroissante .
3) La suite (u_n) est minorée par 0 et décroissante , donc
elle est convergente .
4) Soit P_n : u_n = 1/√(n + 1) .
Initialisation : pour n = 0 on a : u_0 = 1 = 1/√(0 + 1) ,
donc P_n est vérifiée pour n = 0 .
Hérédité : on suppose que pour un n nombre entier naturel
on a : u_n = 1/√(n + 1) .
Au rang n + 1 , on a : u_(n + 1) = (u_n)/√(1 + u²_n) .
Et en tenant compte de de la propriété P_n au rang n ,
u_n = 1/√(n + 1) ,
u²_n + 1 = 1/(n + 1) + 1 = (n + 2)/(n + 1),
√(u²_n + 1) = √(n + 2) / √(n + 1) ,
Donc : u_(n + 1) = (1/√(n + 1)) / (√(n + 2) / √(n + 1))
= 1/√(n + 2) = 1/√((n + 1) + 1) .
Ainsi P_n est vérifiée au rang n + 1 .
Conclusion : pour tout n nombre entier naturel , u_n = 1/√(n + 1) .
5) lim(n→+∞) u_n = lim(n→+∞) 1/√(n + 1) = 0 .
6) je te laisse l'honneur de faire le 6 .
