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PIZZA62VIZ
résolu

Bonjour ,
je voudrais de l'aide pour un exercice de maths niveau Ts

merci d'avance

soit z=a+ib un complexe . on pose Z=[tex] \frac{z+3}{z-i} [/tex]

1) exprimer Re(Z) et Im(Z) en fonction de a et b

2)déterminer l'ensemble des complexes z tels que:
a) Z soit un réel
b) Z soit un imaginaire pur

svp

Répondre :

Bonjour ;

1) Z = (z + 3)/(z - i) = ((a + 3) + ib)/(a + i(b - 1))
= (((a + 3) + ib)(a - i(b - 1)))/((a + i(b - 1))(a - i(b - 1)))
= (a(a + 3) + b(b - 1) + i(ab - (a + 3)(b - 1)))/(a² + (b - 1)²)
= (a(a + 3) + b(b - 1))/(a² + (b - 1)²) + i(ab - (a + 3)(b - 1)))/(a² + (b - 1)²)
= (a² + 3a + b² - b)/(a² + (b - 1)²) + i(a - 3b + 3)/(a² + (b - 1)²) ,

donc Re(Z) = (a² + 3a + b² - b)/(a² + (b - 1)²)
et Im(Z) = (a - 3b + 3)/(a² + (b - 1)²) .

2)

a) Z est un réel si Im(Z) = 0 ,
donc : a - 3b + 3 = 0 ,
donc : b = 1/3 a + 1 ,
donc l'ensemble des nombres complexes z tels que Z est un nombre réel ,
est la droite du plan complexe représenté par : y = 1/3 x + 1 .

b) Z est un imaginaire pur si Re(Z) = 0 ,
donc : a² + 3a + b² - b = 0 ,
donc : a² + 2 x 3/2 x a + (3/2)² - 9/4 + b² - 2 x 1/2 x b + (1/2)² - 1/4 = 0 ,
donc : (a + 3/2)² - 9/4 + (b - 1/2)² - 1/4 = 0 ,
donc : (a + 3/2)² + (b - 1/2)² - 10/4 = 0 ,
donc : (a + 3/2)² + (b - 1/2)² - 5/2 = 0 ,
donc : (a + 3/2)² + (b - 1/2)² = 5/2 = (√(5/2))² ,

donc l'ensemble des nombres complexes z tels que Z est un imaginaire pur , est le cercle du plan complexe de centre ω(- 3/2 ; 1/2) et de rayon √(5/2) .
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