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CREATIVEANDCOVIZ
résolu

Bonjour j'ai encore besoin d'aide !

On considère la fonction f définie sur ] −∞ ; 1 [ par f(x) = (x² -x-1)/(x-1)
1. A l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de f.
2. Montrer que pour tout x de ] −∞ ; 1 [ , f(x)= x-(1/(x-1))
3. En utilisant les fonctions usuelles, démontrer la conjecture émise au 1.
4. Montrer que pour tous a b, de ; ] −∞ 1 [ , f(b) - f(a) = b - a + ((b-a)/((a-1)(b-1))
5. En utilisant ce résultat, redémontrer la conjecture émise au 1.

Pour le 1, la fonction f est croissante sur ] -∞ ; 1 [.
Merci pour votre aide !

Répondre :

Bonjour
b) f(x)=(x²-x-1)/(x-1)
f(x)=(x(x-1)-1)/(x-1)
f(x))=x(x-1)/(x-1)-1/(x-1)
f(x)=x-1/(x-1)

c) Soit a et b ∈ ]-∞;1[ tels que a≤b
a-1≤b-1
La fonction x→1/x est décroissante donc :
1/(b-1)≤1/(a-1)
La fonction x→-x est décroissante donc :
-1/(a-1)≤-1/(b-1)
Et comme a≤b on a :
a-1/(a-1))≤b-1/(b-1)
donc f(a)≤f(b)
f est croissante.

d) f(b)-f(a)=b-1/(b-1)-a+1/(a-1)
f(b)-f(a)=b-a+1/(a-1)-1/(b-1)
f(b)-f(a))=b-a+(b-1)/[(a-1)(b-1)]-(a-1)/[(a-1)(b-1)]
f(b)-f(a)=b-a+[b-1-a+1]/[(a-1)(b-1)]
f(b)-f(a)=b-a+(b-a)/[(a-1)(b-1)]

e) a et b ∈ ]-∞;1[. On suppose que a≤b
Donc b-a≥0
Par ailleurs puisque a et b ∈ ]-∞;1[ on a a-1≥0 et b-1≥0
Donc b-a+(b-a)/[(a-1)(b-1)]≥0
Donc f(b)-f(a)≥0 et f(a)≤f(b)
Donc f est croissante;
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