Bonjour ;
1) Soit u_0 ∈ IR ,
donc : u_1 = 1/2 u_0 + 1 = u_0 ;
donc : 1 = 1/2 u_0 ;
donc : u_0 = 2 .
2) u_0 = 0 ; u_1 = 1 ; u_2 = 3/2 ; u_3 = 7/4 .
3) Je te laisse l'honneur de faire cette question .
4)
a) v_(n + 1) = u_(n + 1) - 2 = 1/2 u_n + 1 - 2
= 1/2 u_n - 1 = 1/2(u_n - 2) = 1/2 v_n ,
donc la suite (v_n) est une suite géométrique de raison q = 1/2
et de premier terme v_0 = - 2 .
b) v_n = - 2 (1/2)^n = - 1/2^(n - 1) ,
donc : u_n = v_n + 2 = 2 - 1/2^(n - 1) .
c) u_(n + 1) - u_n = - 1/2^n + 2 + 1/2^(n - 1) - 2
= 1/2^(n - 1) (1 - 1/2) = 1/2^(n - 1) x 1/2 = 1/2^n > 0 ,
donc la suite (u_n) est strictement croissante .
5) On a : lim(n→+∞) v_n = lim(n→+∞) - 1/2^(n - 1) = 0 ,
donc : lim(n → + ∞) u_n = lim(n → + ∞) v_n + 2 = 2 .
6) Je te laisse l'honneur de faire cette question .
