Bonsoir,
Soit le repère orthonormé (A;[tex]\overrightarrow{i}[/tex] , [tex]\overrightarrow{j}[/tex] ) , avec [tex]\overrightarrow{AB}=8 \overrightarrow{i} [/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}=6\overrightarrow{j}[/tex]
L est le milieu de [AB], or AB = 8, donc AL = 4, donc L(4;0)
K est le milieu de [DC], or DC = 4, donc DK = 2. De plus, ABCD est un trapèze rectangle, donc (DC) et (AB) sont parallèles et (DC) est perpendiculaire à (AD). Donc K(2;6)
E∈[AC]∩[BD]
De plus, (AB) et (DC) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thalès :
[tex] \frac{DC}{AB} = \frac{EC}{EA} \Rightarrow \frac{EC}{EA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow EC = \frac{1}{2} EA [/tex]
Or E∈[AC], donc [tex] \overrightarrow{EC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{EA} [/tex]
Or A(0;0) et C(4;6), donc :
[tex] \left[\begin{array}{ccc}4-x_E\\6-y_E\end{array}\right] = - \frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0-x_E\\0-y_E\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}4-x_E\\6-y_E\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} x_E\\\frac{1}{2} y_E\end{array}\right] \Rightarrow [/tex]
Or A(0;0) et C(4;6)
Donc [tex] \left \{ {{4-x_E=\frac{1}{2} x_E} \atop {6-y_E= \frac{1}{2} y_E}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \frac{3}{2} x_E = 4} \atop { \frac{3}{2} y_E} = 6} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_E = \frac{4}{ \frac{3}{2} } = \frac{8}{3} } \atop {y_E = \frac{6}{ \frac{3}{2} } = 4} \right.[/tex]
Donc E(8/3;4)
Donc :
[tex]\overrightarrow{LK}[/tex] (2-4;6-0) ⇒ [tex]\overrightarrow{LK}[/tex] (-2;6)
et
[tex]\overrightarrow{LE}[/tex] ((8/3)-4;4-0) ⇒ [tex]\overrightarrow{LE}[/tex] (-4/3;4)
[tex]x_{\overrightarrow{LK}}*y_{\overrightarrow{LE}}-y_{\overrightarrow{LK}}*x_{\overrightarrow{LE}}[/tex] = (-2)(4)-(-4/3)(6) = -8+8 = 0
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{LK}[/tex] et [tex]\overrightarrow{LE}[/tex] sont colinéaires, donc les points L, K et E sont alignés.
