Bonjour
Touteouie
1) Figure en pièce jointe.
2) Puisque le triangle ABM doit être rectangle en B, la relation de Pythagore doit être vérifiée.
Or
[tex]AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\\\AB^2=(-2+4)^2+(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})^2\\\\AB^2=2^2+4^2=4+16\\\\\boxed{AB^2=20}\\\\\\BM^2=(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2\\\\BM^2=(0+2)^2+(a-\dfrac{5}{2})^2\\\\BM^2=2^2+(a-\dfrac{5}{2})^2=4+a^2-5a+\dfrac{25}{4}\\\\\boxed{BM^2=a^2-5a+\dfrac{41}{4}}\\\\\\AM^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2\\\\AM^2=(0+4)^2+(a+\dfrac{3}{2})^2\\\\AM^2=4^2+(a+\dfrac{3}{2})^2=16+a^2+3a+\dfrac{9}{4}\\\\\boxed{AM^2=a^2+3a+\dfrac{73}{4}}[/tex]
D'où
[tex]AB^2+BM^2=AM^2\\\\\Longleftrightarrow20+a^2-5a+\dfrac{41}{4}=a^2+3a+\dfrac{73}{4}\\\\\Longleftrightarrow a^2-5a-a^2-3a=\dfrac{73}{4}-20-\dfrac{41}{4}\\\\\Longleftrightarrow-8a=-12\\\\\Longleftrightarrow a=\dfrac{-12}{-8}\\\\\Longleftrightarrow\boxed{a=\dfrac{3}{2}}[/tex]
3) Les points B, M et C semblent être alignés.
Démontrons-le.
[tex]\overrightarrow{BM}=(x_M-x_B;y_M-y_B)=(0+2;\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})=(2;-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\ :\ (2;-1)}\\\\\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B;y_C-y_B)=(2+2;\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2})=(4;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}\ :\ (4;-2)}[/tex]
D'où [tex]\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] sont donc colinéaires.
Par conséquent, les points B, M et C sont alignés.
4) Le quadrilatère ABNC est un parallélogramme si et seulement si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)=(-2+4;\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})=(2;4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\ :\ (2;4)}\\\\\\\overrightarrow{CN}(x_N-x_C;y_N-y_C)=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CN}\ :\ (x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}\\\\\Longleftrightarrow(2;4)=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_N-2=2\\\\y_N-\dfrac{1}{2}=4 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_N=4\\\\y_N=\dfrac{9}{2} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{N\ :\ (4;\dfrac{9}{2})}[/tex]
5) Le point K est le symétrique du point A par rapport à B signifie que B est le milieu du segment [AK].
D'où
[tex](x_B;y_B)=(\dfrac{x_A+x_K}{2};\dfrac{y_A+y_K}{2})\\\\\\(-2;\dfrac{5}{2})=(\dfrac{-4+x_K}{2};\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2})\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+x_K}{2}=-2\\\\\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}-4+x_K=-4\\\\-\dfrac{3}{2}+y_K=5 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x_K=0\\\\y_K=\dfrac{13}{2} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{K:(0;\dfrac{13}{2})}[/tex]
[tex]6)\ BK^2=(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2\\\\BK^2=(0+2)^2+(\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2})^2\\\\BK^2=2^2+4^2=4+16\\\\\boxed{BK^2=20}\\\\\\KN^2=(x_N-x_K)^2+(y_N-y_K)^2\\\\KN^2=(4-0)^2+(\dfrac{9}{2}-\dfrac{13}{2})^2\\\\KN^2=4^2+(-2)^2=16+4\\\\\boxed{KN^2=20}\\\\\\BN^2=(x_N-x_B)^2+(y_N-y_B)^2\\\\BN^2=(4+2)^2+(\dfrac{9}{2}-\dfrac{5}{2})^2\\\\BN^2=6^2+2^2=36+4\\\\\boxed{BN^2=40}[/tex]
Le triangle BKN est rectangle en K car la relation de Pythagore est vérifiée.
En effet
[tex]BK^2+KN^2=20+20\\\\BK^2+KN^2=40\\\\\boxed{BK^2+KN^2=BN^2}[/tex]
Le triangle BKN est isocèle car [tex]BK=KN=\sqrt{20}[/tex]
Par conséquent, le triangle BKN est rectangle et isocèle.
7) Les droites (NC) et (AB) sont parallèles et NC = AB car ABNC est un parallélogramme.
Les droites (AB) et (BK) sont parallèles et AB = BK car B est le milieu de [AK].
D'où les droites (NC) et (BK) sont parallèles et NC = BK.
On en déduit que le quadrilatère BCNK est un parallélogramme.
Or BK = KN.
Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Donc le quadrilatère BCNK est un losange..
Mais le triangle BKN est rectangle en K ==> l'angle BKN est un angle droit.
Un losange possédant un angle droit est un carré.
Par conséquent, le quadrilatère BCNK est un carré.
