Bonjour,
1) xy + x + 2y = 48
⇔ y(x + 2) = 48 - x
⇔ y = (48 - x)/(x + 2) SSI x ≠ -2 impossible dans N
(Dans Z,i x = -2, -2y - 2 + 2y = 48 impossible)
y ∈ N ⇒ (x + 2) divise (48 - x)
(48 - x)/(x + 2) = -(x + 2)/(x + 2) + 50/(x + 2) = -1 + 50/(x + 2)
⇒ il faut que (x + 2) divise 50
Soit 50 = k(x + 2) avec k ∈ N ⇒ x = 50/k - 2
50 = 1 x 2 x 5 x 5 ⇒ k = 1, 2, 5, 10, 25 ou 50
(Si y et k ∈ Z, on peut décomposer 50 aussi comme :
50 = -1 x -2 x 5 x 5 ⇒ k = -1, -2, -5, -10, -25, -50
ou 50 = -1 x -2 x 5 x 5 ou etc...
bref on rajoute k = -1, -2, -5, -10, -25, -50)
Si on reste dans N donc :
k = 1 ⇒ x = 48 et y = (48 - 48)/(48 + 2) = 0
k = 2 ⇒ x = 23 et y = 1
k = 5 ⇒ x = 8 et y = 4
k = 10 ⇒ x = 3 et y = 9
k = 25 ⇒ x = 0 et y = 24
k = 50 ⇒ x = -1 ∉ N
Ex2
n pair ⇒ n = 2k k∈N
1)
n² - 1 = 4k² - 1= (2k - 1)(2k + 1) pas divisible par 8
Erreur d'énoncé je pense : n² - 1 est divisible par 8 si n est IMpair :
n = 2k + 1
n² - 1 = 4k² + 4k + 1 - 1 = 4k(k + 1)
Si k est pair 4k est divisible par 8
Si k est impair, 4(k+1) est divisible par 8
2) n⁴ - 1 multiple de 1 ???
tout n est multiple de 1 ???
3) a et b impairs
a = 2k + 1
b = 2k' + 1
a² + b² - 2
= 4k² + 4k + 1 + 4k'² + 4k' + 1 - 2
= 4k(k + 1) + 4k'(k' + 1)
k et k' pairs : 4k et 4k' divisent 8
k et k' impairs : 4(k+1) et 4(k'+1) divisent 8
k pair et k' impair ou inversement :
4k divise 8 et 4(k'+1) divisent 8 ou inversement
