Bonjour
Milagoncalvez
1) Variations de f sur [-3 ; 2]
[tex]f(x)=\dfrac{3x-1}{1+x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(3x-1)'\times(1+x^2)-(3x-1)\times(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3\times(1+x^2)-(3x-1)\times2x}{(1+x^2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3+3x^2-6x^2+2x}{(1+x^2)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-3x^2+2x+3}{(1+x^2)^2}}[/tex]
Le signe de la dérivée f '(x) sera le signe du numérateur -3x²+2x+3 car (1+x²)²>0.
D'où
[tex]-3x^2+2x+3=0\\\\\Delta=2^2-4\times(-3)\times3=4+36=40\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-2-\sqrt{40}}{2\times(-3)}=\dfrac{-2-2\sqrt{10}}{-6}=\dfrac{-2(1+\sqrt{10})}{-6}=\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\approx1,39\\\\x_2=\dfrac{-2+\sqrt{40}}{2\times(-3)}=\dfrac{-2+2\sqrt{10}}{-6}=\dfrac{-2(1-\sqrt{10})}{-6}=\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\approx-0,72\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-3&&\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}&&\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}&&2\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&minimum&\nearrow&maximum&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
2) Sur l'intervalle [-3 ; 2], la fonction f admet un minimum local pour [tex]\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\approx-0,72[/tex] et un maximum local pour [tex]\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\approx1,39[/tex]
