Bonjour,
1) Un+1 - Un = Somme de 1 à (n+1) des 1/k² - Somme de 1 à n des 1/k²
= 1/(n+1)² > 0
⇒ (Un) croissante
2)a)
k ≥ 2 ⇒ k² ≥ k² - k ⇔ k² ≥ k(k - 1)
⇒ 1/k² ≤ 1/k(k - 1)
⇔ 1/k² ≤ 1/(k - 1) - 1/k
b) On en déduit :
Un ≤ Somme(1/k - 1/(k - 1))
⇔ Un ≤ 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n - 1) - 1/n)
les termes -1/2 + 1/2 puis -1/3 + 1/3 s'annulent 2 à 2
⇒ Un ≤ 1 + 1 - 1/n
⇔ Un ≤ 2 - 1/n
