Bonjour,
1) n impair
⇒ il existe d ∈ N tel que n = 2d + 1
Si d est pair, il existe k ∈ N tel que d = 2k, soit n = 4k + 1
Si d impair, il existe k ∈ N tel que d = 2k + 1 soit n = 4k + 3
Donc dans tous les cas, n impair ⇒ n = 4k + r avec r = 1 ou 3
Le cas r = 2 est faux car 4k + 2 est pair ???
2) n ≥ 2
D'après le 1) si n impair, n = 4k + 1 ou n = 4k + 3
⇒ n² - 1 = 16k² + 8k ou n² - 1 = 16k² + 24k + 8
⇔ n² - 1 = 8(2k² + 1) ou n² - 1 = 8(2k² + 3k + 1)
Donc si n est impair, n² - 1 est divisible par 8.
Par contraposée, si n² - 1 n'est pas divisible par 8, n est pair
