Bonjour Lolajollia
Question 2 b)
Démontrons que pour tout entier naturel n, [tex]0\le u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}[/tex]
Démonstration par récurrence.
Démontrons d'abord que pour tout entier naturel n, [tex]0\le u_n-4[/tex]
Initialisation
Montrons que l'inégalité est vraie pour n = 0
[tex]u_0-4=5-4=1\ge0\Longrightarrow\boxed{0\le u_0-4}[/tex]
Hérédité
Si pour un nombre n entier naturel, nous avons [tex]0\le u_n-4[/tex],
alors montrons que nous avons également [tex]0\le u_{n+1}-4[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}-4=\sqrt{u_{n}+12}-4\\\\\text{Or}\ \ 0\le u_n-4\Longrightarrow u_n\ge4\\\\\text{Donc\ \ }u_{n+1}-4=\sqrt{u_{n}+12}-4\ge\sqrt{4+12}-4\\\\u_{n+1}-4\ge\sqrt{16}-4\\\\u_{n+1}-4\ge0\\\\\Longrightarrow\boxed{0\le u_{n+1}-4}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]0\le u_n-4[/tex]
Montrons ensuite que pour tout entier naturel n, [tex]u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}[/tex]
Initialisation
Montrons que [tex]u_0-4\le\dfrac{1}{8^0}[/tex]
En effet,
[tex]\left\{\begin{matrix}u_0-4=5-4=1\\\\\dfrac{1}{8^0}=\dfrac{1}{1}=1\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{u_0-4\le\dfrac{1}{8^0}}\ \ (car\ 1\le1)[/tex]
Hérédité
Si pour un nombre n entier naturel, nous avons [tex]u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}[/tex]
alors montrons que nous avons également [tex]u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8^{n+1}}[/tex]
En effet
[tex]u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8}(u_n-4)[/tex] en utilisant la relation démontrée dans la question 2a)
Or [tex]u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}[/tex] par hypothèse de récurrence.
D'où
[tex]u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8}(u_n-4)\le\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{8^n}\\\\\\u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8^1}\times\dfrac{1}{8^n}\\\\\\\Longroghtarrow\boxed{u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8^{n+1}}}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}[/tex] .
Par conséquent,
pour tout entier naturel n, [tex]\boxed{0\le u_n-4\le\dfrac{1}{8^n}}[/tex]
