Bonjour Touteouie
Exercice 1
[tex]f(x)=\dfrac{4x+8}{x^2+1}[/tex]
1) L'image de -2 par f est f(-2), c'est-à-dire la valeur prise par l'expression de f(x) en remplaçant x par -2.
[tex]f(-2)=\dfrac{4\times(-2)+8}{(-2)^2+1}=\dfrac{-8+8}{4+1}=\dfrac{0}{5}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{f(-2)=0}[/tex]
Par conséquent, l'image de -2 par f est 0.
2) Pour le tableau des valeurs de f(x) si x prend des valeurs de -5 à 5 avec un pas de 1, nous allons suivre les instructions suivantes :
Choisir le MENU TABLE.
EXE
Dans la ligne Y1:, écrire l'expression de f(x), soit (4x+8)/(x²+1)
EXE
Taper sur F5 pour aller dans l'onglet SET
Start: -5
End: 5
Step : 1
EXE
EXE
Nous obtenons alors le tableau des valeurs de x et de f(x) correspondant à nos critères.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}x& -5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\&&&&&&&&&&&\\f(x)& -0,46&-0,47&-0,4&0&2&8&6&3,2&2&1,41&1,08\\ \end{array}[/tex]
3) Courbe en pièce jointe.
4) Par lecture graphique, nous obtenons les résultats suivants :
a) L'image de 3,5 est environ égale à 1,7 (construction en bleu sur la figure)
b) Les antécédents de 2,5 sont environ égaux à -0,9 et 2,5 (constructions en rouge et en vert).
5) Nous pouvons vérifier ces résultats en utilisant le tableur de la question 2.
Il suffira d'écrire -0,9 dans la colonne des x, taper EXE et vérifier que la valeur obtenue pour f(x) est très proche de 2,5.
Même démarche pour x = 2,5.
6) Pour vérifier si le point A(3,2 ; 1,85) appartient ou non à la courbe représentant f, il suffit de voir si f(3,2)=(1,85) ou si cette égalité est fausse.
Nous pouvons à nouveau utiliser le tableur et introduire 3,2 dans la colonne des x, taper EXE et constater que la valeur obtenue pour f(x) est 1,8505.
Puisque le tableur nous donne une image proche de 1,85 mais différente de 1,85, nous en déduisons que f(3,2) ≠ 1,85.
Par conséquent, le point A(3,2 ; 1,85) n'appartient pas à la courbe représentant f.
Le détail du calcul est le suivant :
[tex]f(3,2)=\dfrac{4\times3,2+8}{3,2^2+1}\\\\\\f(3,2)=\dfrac{12,8+8}{10,24+1}\\\\\\f(3,2)=\dfrac{20,8}{11,24}\\\\\\f(3,2)\approx1,850533808\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(3,2)\neq1,85}[/tex]
Exercice 2
1) Figure en pièce jointe.
2) Par la figure, nous pourrions conjecturer que la droite (AC) est tangente au cercle (C) au point A.
3) Nous savons qu'une droite est tangente à un cercle en un point de ce cercle si cette droite est perpendiculaire au diamètre du cercle passant par le point de contact.
Donc, pour démontrer que la droite (AC) est tangente au cercle (C) au point A, nous allons démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire au diamètre [AB] du cercle.
Pour ce faire, montrons que le triangle ABC est rectangle en A.
[tex]AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\\\AB^2=(-3+1)^2+(6-2)^2\\\\AB^2=(-2)^2+4^2\\\\AB^2=4+16\\\\\boxed{AB^2=20}\\\\\\AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\\\\AC^2=(-7+1)^2+(-1-2)^2\\\\AC^2=(-6)^2+(-3)^2\\\\AC^2=36+9\\\\\boxed{AC^2=45}\\\\\\BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2\\\\BC^2=(-7+3)^2+(-1-6)^2\\\\BC^2=(-4)^2+(-7)^2\\\\BC^2=16+49\\\\\boxed{BC^2=65}[/tex]
Or
[tex]AB^2+AC^2=20+45\\\\AB^2+AC^2=65\\\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, nous en déduisons que le triangle ABC est rectangle et que [BC] est l'hypoténuse.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.
Nous concluons alors que la droite (AC) est bien tangente au cercle (C).
