Bonjour,
10) pour 10⁷ on ne peut pas appliquer la méthode habituelle car 11 > 10
10²≡1 (11)
⇒ (10²)³≡1³ (11)
Soit 10⁶ = 11k + 1
⇒ 10⁷ = 110k + 10
11) 2⁵ = 32 = 33 - 1 ≡ -1 (11)
reste de 13¹²/11 :
13 = 1x11 + 2
⇒ 13¹² ≡ 2¹² (11)
2¹² = 2⁽²ˣ⁵ ⁺ ²⁾ = (2⁵)² x 2² ≡ (-1)² x 4 = 4
reste de (-2)¹⁹/11 :
(-2)¹⁹ = (-2)x(2¹⁸)
2¹⁸ = 2³ˣ⁵⁺³ = (2⁵)³ x 2³ ≡ (-1)³ x 8 (11) = -8 (11)
⇒ 2¹⁸ = 11k - 8
⇒ (-2)¹⁹ = (-2) x 2¹⁸ = -22k + 16 = -22(k - 1) - 6
12) 6ⁿ - 1 divisible par 5
n = 0 : 6⁰ - 1 = 0 divisible par 5
n = 1 : 6¹ - 1 = 5 divisible par 5
Supposons vrai au rang n
Au rang (n+1) : 6ⁿ⁺¹ - 1 = 6x6ⁿ - 1 = 6x6ⁿ - 6 + 5 = 6(6ⁿ - 1) + 5
Par hypothèse de récurrence, 6ⁿ - 1 est divisible par 5
Donc 6ⁿ⁺¹ = 6 x 5k + 5 = 5(6k + 1) donc divisible par 5
13)
x² = y² + 21
⇔ x² - y² = 21
⇔ (x - y)(x + y) = 21
21 = 1 x 3 x 7
x - y = 1 et x + y = 21
ou
x - y = 3 et x + y = 7
ou
x - y = 7 et x + y = 3
ou
x - y = 21 et x + y = 1
je te laisse finir et choisir les couples dans N qui fonctionnent...
et 17...)
xy - 5x - 5y - 7 = 0
⇔ xy - 5x - 5y + 25 - 32 = 0
⇔ (x - 5)(y - 5) = 32
32 = 2⁵
Donc diviseurs : 1,2,4,8,16,32
x-5 = 1 et y-5 = 32
x-5 = 2 et y-5 = 16
etc...
