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Bonjour Mathématikk
Première méthode.
Puisque [tex]\Phi[/tex] est solution de l'équation x² - x - 1 = 0, nous déduisons que la valeur de [tex]\Phi[/tex] vérifie cette équation.
D'où
[tex]\Phi^2-\Phi-1=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^2=\Phi+1}[/tex]
Dès lors,
[tex]\Phi^3=\Phi^2\times\Phi\\\\\Phi^3=(\Phi+1)\Phi\\\\\Phi^3=\Phi^2+\Phi\\\\\Phi^3=(\Phi+1)+\Phi\\\\\boxed{\Phi^3=2\Phi+1}\\\\\Phi^4=\Phi^3\times\Phi\\\\\Phi^4=(2\Phi+1)\Phi\\\\\Phi^4=2\Phi^2+\Phi\\\\\Phi^4=2(\Phi+1)+\Phi\\\\\Phi^4=2\Phi+2+\Phi\\\\\boxed{\Phi^4=3\Phi+2}[/tex]
[tex]\Phi^5=\Phi^4\times\Phi\\\\\Phi^5=(3\Phi+2)\Phi\\\\\Phi^5=3\Phi^2+2\Phi\\\\\Phi^5=3(\Phi+1)+2\Phi\\\\\Phi^5=3\Phi+3+2\Phi\\\\\boxed{\Phi^5=5\Phi+3}\\\\\Phi^{10}=(\Phi^5)^2\\\\\Phi^{10}=(5\Phi+3)^2\\\\\Phi^{10}=25\Phi^2+30\Phi+9\\\\\Phi^{10}=25(\Phi+1)+30\Phi+9\\\\\Phi^{10}=25\Phi+25+30\Phi+9\\\\\boxed{\Phi^{10}=55\Phi+34}[/tex]
[tex]\Phi^{20}=(\Phi^{10})^2\\\\\Phi^{20}=(55\Phi+34)^2\\\\\Phi^{20}=3025\Phi^2+3740\Phi+1156\\\\\Phi^{20}=3025(\Phi+1)+3740\Phi+1156\\\\\Phi^{20}=3025\Phi+3025+3740\Phi+1156\\\\\boxed{\Phi^{20}=6765\Phi+4181}\\\\\Phi^{21}=\Phi^{20}\times\Phi\\\\\Phi^{21}=(6765\Phi+4181)\Phi\\\\\Phi^{21}=6765\Phi^2+4181\Phi\\\\\Phi^{21}=6765(\Phi+1)+4181\Phi\\\\\Phi^{21}=6765\Phi+6765+4181\Phi\\\\\boxed{\Phi^{21}=10946\Phi+6765}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\Phi^{21}=10946\times(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})+6765\\\\\Phi^{21}=5473(1+\sqrt{5})+6765\\\\\Phi^{21}=5473+5473\sqrt{5}+6765\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^{21}=12238+5473\sqrt{5}}[/tex]
Deuxième méthode.
1. Montrer par récurrence que pour tout n de N : Φ^n+2=un+1Φ+un
Initialisation
Montrons que la relation est vraie pour n = 0
[tex]\left\{\begin{matrix}\Phi^2=\Phi+1\\u_{1}\Phi+u_0=1\times\Phi+1}=\Phi+1 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^2=u_{1}\Phi+u_0}[/tex]
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité.
Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons [tex]\Phi^{n+2}=u_{n+1}\Phi+u_n[/tex],
alors montrons que nous avons également [tex]\Phi^{n+3}=u_{n+2}\Phi+u_{n+1}[/tex]
En effet,
[tex]\Phi^{n+3}=\Phi^{n+2}\times\Phi=(u_{n+1}\Phi+u_{n})\Phi=u_{n+1}\Phi^2+u_{n}\Phi\\\\\\\Phi^{n+3}=u_{n+1}(\Phi+1)+u_{n}\Phi=u_{n+1}\Phi+u_{n+1}+u_{n}\Phi\\\\\\\Phi^{n+3}=u_{n+1}\Phi+u_{n}\Phi+u_{n+1}=(u_{n+1}+u_{n})\Phi+u_{n+1}\\\\\boxed{\Phi^{n+3}=u_{n+2}\Phi+u_{n+1}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Nous avons ainsi démontré par récurrence que pour tout n de N : [tex]\Phi^{n+2}=u_{n+1}\Phi+u_n[/tex]
[tex]2)\ u_{19}=6765\ \ et\ \ u_{20}=10946\\\\\\\Longrightarrow \Phi^{21}=u_{20}\Phi+u_{19}\\\\\\\Longrightarrow \Phi^{21}=10946\Phi+6765\\\\\Phi^{21}=10946\times(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})+6765\\\\\Phi^{21}=5473(1+\sqrt{5})+6765\\\\\Phi^{21}=5473+5473\sqrt{5}+6765\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^{21}=12238+5473\sqrt{5}}[/tex]
Première méthode.
Puisque [tex]\Phi[/tex] est solution de l'équation x² - x - 1 = 0, nous déduisons que la valeur de [tex]\Phi[/tex] vérifie cette équation.
D'où
[tex]\Phi^2-\Phi-1=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^2=\Phi+1}[/tex]
Dès lors,
[tex]\Phi^3=\Phi^2\times\Phi\\\\\Phi^3=(\Phi+1)\Phi\\\\\Phi^3=\Phi^2+\Phi\\\\\Phi^3=(\Phi+1)+\Phi\\\\\boxed{\Phi^3=2\Phi+1}\\\\\Phi^4=\Phi^3\times\Phi\\\\\Phi^4=(2\Phi+1)\Phi\\\\\Phi^4=2\Phi^2+\Phi\\\\\Phi^4=2(\Phi+1)+\Phi\\\\\Phi^4=2\Phi+2+\Phi\\\\\boxed{\Phi^4=3\Phi+2}[/tex]
[tex]\Phi^5=\Phi^4\times\Phi\\\\\Phi^5=(3\Phi+2)\Phi\\\\\Phi^5=3\Phi^2+2\Phi\\\\\Phi^5=3(\Phi+1)+2\Phi\\\\\Phi^5=3\Phi+3+2\Phi\\\\\boxed{\Phi^5=5\Phi+3}\\\\\Phi^{10}=(\Phi^5)^2\\\\\Phi^{10}=(5\Phi+3)^2\\\\\Phi^{10}=25\Phi^2+30\Phi+9\\\\\Phi^{10}=25(\Phi+1)+30\Phi+9\\\\\Phi^{10}=25\Phi+25+30\Phi+9\\\\\boxed{\Phi^{10}=55\Phi+34}[/tex]
[tex]\Phi^{20}=(\Phi^{10})^2\\\\\Phi^{20}=(55\Phi+34)^2\\\\\Phi^{20}=3025\Phi^2+3740\Phi+1156\\\\\Phi^{20}=3025(\Phi+1)+3740\Phi+1156\\\\\Phi^{20}=3025\Phi+3025+3740\Phi+1156\\\\\boxed{\Phi^{20}=6765\Phi+4181}\\\\\Phi^{21}=\Phi^{20}\times\Phi\\\\\Phi^{21}=(6765\Phi+4181)\Phi\\\\\Phi^{21}=6765\Phi^2+4181\Phi\\\\\Phi^{21}=6765(\Phi+1)+4181\Phi\\\\\Phi^{21}=6765\Phi+6765+4181\Phi\\\\\boxed{\Phi^{21}=10946\Phi+6765}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\Phi^{21}=10946\times(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})+6765\\\\\Phi^{21}=5473(1+\sqrt{5})+6765\\\\\Phi^{21}=5473+5473\sqrt{5}+6765\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^{21}=12238+5473\sqrt{5}}[/tex]
Deuxième méthode.
1. Montrer par récurrence que pour tout n de N : Φ^n+2=un+1Φ+un
Initialisation
Montrons que la relation est vraie pour n = 0
[tex]\left\{\begin{matrix}\Phi^2=\Phi+1\\u_{1}\Phi+u_0=1\times\Phi+1}=\Phi+1 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^2=u_{1}\Phi+u_0}[/tex]
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité.
Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons [tex]\Phi^{n+2}=u_{n+1}\Phi+u_n[/tex],
alors montrons que nous avons également [tex]\Phi^{n+3}=u_{n+2}\Phi+u_{n+1}[/tex]
En effet,
[tex]\Phi^{n+3}=\Phi^{n+2}\times\Phi=(u_{n+1}\Phi+u_{n})\Phi=u_{n+1}\Phi^2+u_{n}\Phi\\\\\\\Phi^{n+3}=u_{n+1}(\Phi+1)+u_{n}\Phi=u_{n+1}\Phi+u_{n+1}+u_{n}\Phi\\\\\\\Phi^{n+3}=u_{n+1}\Phi+u_{n}\Phi+u_{n+1}=(u_{n+1}+u_{n})\Phi+u_{n+1}\\\\\boxed{\Phi^{n+3}=u_{n+2}\Phi+u_{n+1}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Nous avons ainsi démontré par récurrence que pour tout n de N : [tex]\Phi^{n+2}=u_{n+1}\Phi+u_n[/tex]
[tex]2)\ u_{19}=6765\ \ et\ \ u_{20}=10946\\\\\\\Longrightarrow \Phi^{21}=u_{20}\Phi+u_{19}\\\\\\\Longrightarrow \Phi^{21}=10946\Phi+6765\\\\\Phi^{21}=10946\times(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})+6765\\\\\Phi^{21}=5473(1+\sqrt{5})+6765\\\\\Phi^{21}=5473+5473\sqrt{5}+6765\\\\\Longrightarrow\boxed{\Phi^{21}=12238+5473\sqrt{5}}[/tex]
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