Bonsoir,
Soit n le nombre d'élèves, n est un entier naturel compris entre 500 et 600.
On remarque que :
n = 20k+7
n = 12k'+7
n = 36k"+7
(avec k, k' et k" des entiers naturels)
Or 500 ≤ n ≤ 600, donc nous allons procéder par disjonction de cas, à partir de n = 36k"+7
Si k" ≤ 13, alors n < 500, donc il n'y a rien à ajouter dans ce cas-là.
Si k" = 14, alors n = 36*14+7 = 511, donc 500 ≤ n ≤ 600.
Or quelque soit k, 20k est un multiple de 10, donc le chiffre des unités de 20k+7 est toujours 7. Donc il n'existe pas d'entier k tel que 20k+7 = 511
Donc le nombre d'élèves ne peut pas être de 511.
Si k" = 15, alors 36*15+7 = 547, donc 500 ≤ n ≤ 600.
De plus, pour k = 27, 20k+7 = 547
Enfin, pour k' = 45, 12k'+7 = 547
Donc le nombre d'élèves peut être de 547, mais vérifions s'il existe d'autres nombres d'élèves possible.
Si k" = 16, alors n = 36*16+7 = 583, donc 500 ≤ n ≤ 600.
Or quelque soit k, 20k est un multiple de 10, donc le chiffre des unités de 20k+7 est toujours 7. Donc il n'existe pas d'entier k tel que 20k+7 = 583
Donc le nombre d'élèves ne peut pas être de 583.
Si k" ≥ 17, alors n > 600, donc il n'y a rien à ajouter dans ce cas-là.
Donc le nombre d'élèves de cet établissement est forcément de 547.
