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résolu

Bonjour, voici l'exercice que à réalisé :

ABC est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont :
AB = 3x + 3; AC = 4x + 4 et BC = 5x + 5, avec x réel positif.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

J'ai commencé par faire un développement :

(X = multiplié)

AB = (3x + 3) x (3x + 3)
= 3x X 3x + 3 X 3 + 3 X 3x + 3 X 3
= 9² + 9 + 3 x 3x + 9
= 90 + 9 + 3 x 3x
= 99 + 3 x 3x

AC = (4x + 4) x (4x + 4)
= 4x X 4x + 4x X 4 + 4 X 4x + 4 X 4
= 16x² + 4x X 4 + 4 X 4x + 16
= 16x² + 4x X 4x + 4 X 4 + 16
= 16x² + 16x² + 16 + 16
= 32x² + 32

BC = (5x + 5) x (5x + 5)
= 5x X 5x + 5x X 5 X 5x + 5 X 5
= 25x² + 5x X 5 + 5 X 5x + 25
= 25x² + 5x X 5x + 5 X 5 + 25
= 25x² + 25x² + 25 + 25
= 50x² + 50

Je pensais par la suite appliquer le Théorème de Pythagore or je ne vois pas comment je pourrais l'appliqué avec des "x".

Merci d'avance

Répondre :

On sait que ABC est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont :
AB = 3x + 3 ; AC = 4x + 4 et BC = 5x + 5, avec x réel positif.

D'après la réciproque de Pythagore : Si BC² = AB² + AC² alors le triangle est rectangle..

BC²
= (5x + 5)²
= 5x * 5x + 5x * 2 * 5 + 5 * 5
= 25x² + 50x + 25

AB² + AC²
= (3x + 3)² + (4x + 4)²
= 3x * 3x + 3x * 3 * 2 + 3 * 3
= 9x² + 18x + 9

(4x + 4)²
4x * 4x + 4x * 4 * 2 + 4 * 4
= 16x² + 32x + 16

16x² + 32x + 16 + 9x² + 18x + 9
= 25x² + 50x + 25

Comme on constate que : BC² = AB² + AC² alors le triangle est rectangle.

Bravo en tous cas d'avoir essayé de résoudre l'exercice et d'avoir trouvé des pistes de recherches seulement les calculs ne sont pas bien résolus. Utilises la méthode vue en cours.
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