Bonjour ;
1) On a n(n+1) est un produit de nombres entiers naturels consécutifs ,
donc ce produit est un nombre entier naturel pair ,
donc : n² + n + 3 = n(n + 1) + 3 est la somme d'un nombre entier naturel pair et un nombre entier naturel impair , qui donc paire ,
donc : n² + 3 + 3 est un nombre impair .
2) (n + 2)(n + 3) = n² + 3n + 2n +6 = n² + 5n + 6 .
(n + 2)(n + 3) est un produit de deux nombres entiers naturels consécutifs , donc c'est un nombre entier naturel pair ,
donc n² + 5n + 6 = (n + 2)(n + 3) est un nombre entier naturel pair .
3) (2n + 2)² - (2n - 1)² = (2n + 2 + 2n - 1)(2n + 2 - 2n + 1) = 4n + 1 ,
donc (2n + 2)² - (2n - 1)² est un nombre entier naturel impair .
4) On a : √(113) ≈ 10,6 .
Les nombres premiers qui sont inférieurs à 10,6 sont : 2 ; 3 ; 5 et 7 .
113 n'est divisible ni par 2 (113 est un nombre impair) ;
ni par 3 (la somme des chiffres de 113 est 1 + 1 + 3 = 5 qui n'est pas
divisible par 3) ;
ni par 5 (le chiffre des unités de 113 est 3 différent de 0 et 5 ) ;
ni par 7 (113/7 ≈ 16,14) ;
donc 113 est un nombre premier .
5) On a : m + n = m - n + 2n ;
Si m - n est impair alors m - n + 2n est impair (somme d'un nombre pair et d'un nombre pair ) , alors m + n est impair , alors m - n et m + n sont tous deux de même parité .
Si m - n est pair alors m - n + 2n est pair (somme de deux nombres pair ) ,
alors m + n est pair , alors m - n et m + n
sont tous deux de même parité .
Conclusion : m + n et m - n ont la même parité .
