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ROSIEMULLER2000VIZ
résolu

SPE MATHS TS

bonjour tout le monde pouvez vous m aider a mon exercice svp

soit N=10D+u et N'=D+2u

1) trouver D,u et N' quand N=29431
2) demontrer l equivalence entre N divisible par 19 et N' divisible par 19
3) en utilisant pplusieurs fois de suite cette equivalence etudier si le nombre 29431 est divible par 19
4) dans cette question on considere que des entiers non divisible par 19, les nombres N et N' peuvent ils avoir le meme reste dans la division par 19 ? on note r et r' les restes dans la division de N et N' par 19. determiner une relation entre r et r'


1) j ai trouver D=2943 , u=1 et N'= 2945
2) j ai prouver que 19/(Nu+n'v)

aidez moi aux questions 3 et 4 svpp :)

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) ok
2) N' = 19k

⇔ D + 2u = 19k
⇔ D = 19k - 2u
⇔ 10D = 19x10k - 20u
⇔ 10D + u = 19x10k - 20u + u
⇔ N = 19(10k - u)
⇔ N = 19k'

Tu peux rédiger avec les ≡ si nécessaire

3) 29431 ≡ 0 (19)
⇔ 2943 + 2x1 ≡ 0 (19)
⇔ 2945 ≡ 0 (19)
⇔ 294 + 2x5 ≡ 0 (19)
⇔ 304 ≡ 0 (19)
⇔ 30 + 2x4 ≡ 0 (19)
⇔ 38 ≡ 0 (19)
⇔ 3 + 2x8 ≡ 0 (19)
⇔ 19 ≡ 0 (19)

⇒ 29431 div. par 19

4) N = 19k + r et N' = 19k' + r'

r = r' ⇒ (10D + u) - (D + 2u) = 19(k - k')

⇔ 9D - u = 19q    avec q = k - k'

⇔ u = 9D - 19q

⇒ N = 10D + u = 10D + 9D - 19q = 19(D - q)

⇒ N div. par 19 ⇒ r = r' = 0

Donc si N non divisible par 19, r ≠ r' ≠ 0

r = 10D + u + 19k
r' = D + 2u + 19k'

⇒ r + 9r' = 19D + 19u + 19(k + 9k')

⇔ r + 9r' = 19p

exp : N = 10x5 + 1 = 51 non div. par 19

51 = 2x19 + 13 ⇒ r = 13

N' = 5 + 2x1 = 7 = 0x19 + 7

13 + 9x7 = 76 = 4x19
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