Bonjour,
1)
Dans le triangle BIC rectangle en B : BI² + BC² = IC²
BI = AB/2 = 2√2/2 = √2
BC = 2
⇒ IC² = (√2)² + 2² = 2 + 4 = 6
⇒ IC = √6
De même, ABD est rectangle en A. Donc BD² = AB² + AD²
soit : BD² = (2√2)² + 2² = 8 + 4 = 12
⇒ BD = √12 = 2√3
2)
a) Dans le triangle ABC, [CI] et [BO] sont des médianes.
Or M est le point d'intersection de [CI] et de [BO].
Donc M est le centre de gravité du triangle ABC.
b) On sait que le centre de gravité d'un triangle se situe aux 2/3 de chaque médiane en partant de leur sommet.
Donc MC = 2/3 x CI ⇒ MI = 1/3 x CI
et MB = 2/3 x BO = 2/3 x BD/2
Soit : MI = 1/3 x √6 = √(6)/3
et MB = 2/3 x 2√(3)/2 = 2√(3)/3
3) MI² = (√6)/3)² = 6/9 = 2/3
MB² = 4x3/9 = 4/3
⇒ MI² + MB² = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2
Or IB² = (√2)² = 2
donc MI² + MB² = IB²
On en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que IBM est rectangle en M.
Donc les droites (IM) et (BM) sont perpendiculaires.
Le point C appartient à (IM), donc (IC) = (IM)
Le point D appartient à (BM), donc (BD) = (BM)
On en déduit donc que (IC) et (BD) sont perpendiculaires.
