Bonjour,
3)a)
E(x) = xf'(x)/f(x)
f(x) = (x + 10)e^(-0,6x) (forme uv donc f' = u'v + uv')
f'(x) = e^(-0,6x) + (x + 10)(-0,6)e^(-0,6x)
⇔ f'(x) = (-0,6x - 5)e^(-0,6x)
⇒ E(x) = x(-0,6x - 5)e^(-0,6x)/(x + 10)e^(-0,6x)
⇔ E(x) = (-0,6x² - 5x)/(x + 10)
b) Sur [0;+∞[, -(0,6x² + 5) < 0 et (x + 10) > 0 ⇒ E(x) < 0
Elasticité de la demande < 0 ⇒ si les prix augmentent, la demande baisse et inversement
c) E'(x) = [(-1,2x - 5)(x + 10) - (-0,6x² - 5)]/(x + 10)²
⇔ E'(x) = (-1,2x² -12x - 5x - 50 + 0,6x² + 5)/(x + 10)²
⇔ E'(x) = (-0,6x² - 17x + 45)/(x + 10)²
Signe de E'(x) = Signe de (-0,6x² - 17x + 45)
Δ = (-17)² - 4x(-0,6)x(45) = 289 + 108 = 397
2 racines : x = (17 - √397)/(-1,2) ≈ 2,44
et x = (17 + √397)/(-1,2) solution négative donc éliminée
x 0 2,44 +∞
E'(x) + 0 -
E(x) crois. décroissante
⇒ E(x) est décroissante sur [2,44 ; +∞[, donc également sur [7:20]
d) E(7) ≈ -3,7 et E(20) ≈ -11,3
et E est strictement décroissante sur [7;20]
Donc : E(20) < -5,5 < E(7) ⇒ il existe une valeur α unique appartenant à [7;20] tel que E(α) = -5,5
E(x) = -5,5
⇔ (-0,6x² - 5x)/(x + 10) = -5,5
⇔ 0,6x² + 5x = 5,5(x + 10)
⇔ 0,6x² - 0,5x - 55 = 0
Δ = (-0,5)² - 4x(0,6)x(-55) = 132,25 = 11,5²
x = (0,5 - 11,5)/1,2 < 0 donc éliminée
x = (0,5 + 11,5)/1,2 = 10
e) la demande diminue
