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MADAMELAMAVAVIZ
résolu

Bonjour à vous , exercice sur les complexes :

Soit f(z)= -z^3 + (2+2i)z²-(3+4i)z+6i

1) Calculer f(2i)
2)Determiner trois réels a, b et c tels que pour tout complexe z : f(z) (z-2i)(az²+bz+c)
3) Résoudre f(z)=0

Répondre :

LOULAKARVIZ
Bonjour,

Dans les nombres complexes il fait deja connaître cette règle :

i^2 = (-1)

1) il suffit de remplacer z par 2i :

f(2i) = -(2i)^3 + (2 + 2i)(2i)^2 - (3 + 4i)(2i) + 6i

f(2i) = -8 x (i)^3 + (2 + 2i) x 4 x (i)^2 - 6i - 8 x (i)^2 + 6i

f(2i) = -8 x (i)^2 x i + (2 + 2i) x (-4) - 6i + 8 + 6i

f(2i) = 8i - 8 - 8i - 6i + 8 + 6i
f(2i) = 0

2) f(z) = (z - 2i)(az^2 + bz + c)

f(z) = az^3 + bz^2 + cz - 2aiz^2 - 2biz - 2ci

f(z) = az^3 + z^2 (b - 2ai) + z(c - 2bi) - 2ci

f(z) = -z^3 + (2 + 2i)z^2 - (3 + 4i) z + 6i

Donc :

a = -1

b - 2ai = 2 + 2i
b = 2 + 2i + 2ai
b = 2 + 2i + 2 x (-1) x i
b = 2 + 2i - 2i
b = 2

c - 2bi = -3 - 4i
c = -3 - 4i + 2bi
c = -3 - 4i + 2 x 2 x i
c = -3 - 4i + 4i
c = -3

On peut Verifier pour c :
-2ci = 6i
c = 6i / (-2i)
c = -3

f(z) = (z - 2i)(-z^2 + 2z - 3)

3) f(z) = 0

z - 2i = 0
z = 2i

-z^2 + 2z - 3 = 0

On calcule le discriminant :

Delta = (2)^2 - 4 x (-1) x (-3)
Delta = 4 - 12
Delta = (-8)
delta = 8i^2
Vdelta = 2iV2
Z1 = (-2 - 2iV2)/(2*(-1)) = 1 + iV2
Z2 = (-2 + 2iV2)/(2*(-1)) = 1 - iV2
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