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résolu

Svp aidez moi je suis perdue dans ce dm de maths...
Le propriétaire d'un cinéma de 1000 places estime, qu'il vend 300 billets à 7 euros par séance. Il a constaté qu'à chaque fois qu'il diminue le prix du billet de 0.5 euros il vend 50 billets de plus.

EX 1. Il décide de vendre le billet 5 euros.
a) Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance ?
b) Quelle est alors la recette pour une séance ?

EX 2. À quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle ? Quel est votre commentaire ?

EX 3. Soit n le nombre de diminutions de 0.5euros, avec 0≤n≤14
a) Exprimer en fonction de n le prix d'une entrée.
b) Exprimez en fonction de n le nombre de spectateurs.
c) En déduire que la recette R(n) = -25n2 + 200n + 2100
d) Montrer que R(n) peut s'écrire : R(n) = -25(n-4)2 + 2500
e) Dresser le tableau de variation de la fonction R en précisant son extrémum (max ou mini). Rappel : 0≤n≤14
g) En déduire la valeur de n pour que la recette engendrée soit maximale.
Quel est le nombre de spectateurs?

EX 4. Les charges fixes pour chaque séance sont de 600 euros.
a) Montrer que le bénéfice peut s'écrire : B(n) = -25n2 + 200n + 1500
b) Déterminer alors que les valeurs possibles de n pour que toute séance soit rentable c'est à dire que le bénéfice soit positif.
Indiquer les tarifs que peut pratiquer le propriétaire du cinéma.

Répondre :

ISAPAULVIZ
Bonjour,
1)  300 spectateurs  à 7 euros la place 
si baisse de 0.50 euro du prix alors hausse de  50 spectateurs 
a) pour un prix de 5 euros 
soit une baisse de 0.5 * 4  il aura une hausse de 50 * 4 = 200 spectateurs 
On aura donc 500 spectateurs pour une séance à 5 euros la place
b)
Recette = 500 * 5 = 2500 euros 
2)
Pour remplir la salle ( 1000 spectateurs ) il faudrait une hausse de 700 spectateurs soit
700 / 50 = 14
14 baisses du prix  initial ( 7 euros) 
c'est à dire billet gratuit  ...
3)
a) prix d'une entrée 
P(n) = 7 - 0.5n
b) Quantité de spectateurs 
Q(n) = 300 + 50n 
c) Recette totale
R(n) = P(n) * Q(n) 
R(n) = (7 - 0.5n)(300 + 50n)
R(n) = 2100 + 350n - 150n - 25n² 
R(n) = -25n² + 200n + 2100 
d)
R(n) = -25(n-4)² + 2500      en développant 
R(n) = -25 ( n² + 16 - 8n) + 2500 
R(n) = -25n² + 200n + 2100       ce qu'il fallait démontrer 
e) Tableau de variation 

n               0                                4                                    14
R(n)       2100     croissante     2500   décroissante           0
f) Recette maximale 
R(n) sera maximale pour n = 4    
Le prix de la place sera de  7 - (0.50 * 4) = 5 euros 
Le nombre de spectateurs sera de  500 
La recette sera de 2500 euros
4)  Les Charges fixes sont de 600 euros alors
a)
B(n) = R(n) - C = -25n² + 200n + 2500 - 600 = -25n² + 200n + 1500  c.q.f.d
b)
B(n) > 0   
B(n) =  -25n² + 200n + 1500 
n <  8  
Pour que B(n) >0     n ∈ [ 0 ; 7 ] 
Prix minimum de la place =  7 - 0.5*7 = 3.50 euros 

Bonne soirée

 

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