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résolu

bonjour pouvez vous m'aides svp
on considère la fonction f définie sur IR par f(x)=x au carre -2x+5
1 montrer que 0 n'admet aucun antécédent par f
2 montrer que pour tout x appartient IR f(x)=(x-1) au carre +4
3 en déduire que f est une fonction strictement positive
4 on suppose qu'il existe un nombre i tel que i au carre =-1
montrer que f(x)=(x-1)au carre-(2i)au carre puis que l'on peut écrire f sous forme factorisée
(on utilisera une identité remarquable)
5 en déduire des solutions de l’équation f(x)=0 en fonction de i ces solutions sont appelés (racines complexes) de f
voila mon devoir

Répondre :

ISAPAULVIZ
Bonsoir
f(x) = x² - 2x + 5 
1)
f(x) = 0
x² - 2x + 5 = 0
Δ = -16   
comme Δ est négatif f(x) =0 n'admet aucune solution dans R
2)
f(x) = (x-1)²+4 
f(x) = x² - 2x + 1 + 4
f(x) = x² - 2x + 5             ce qu'il fallait démontrer 
3)
f(x) > 0    puisque c'est un produit de facteurs positifs 
(x-1)² > 0      c'est un carré 
4 >0              réel positif 
4)
f(x) = (x-1)² - 2i               puisque i = -1 
f(x) = (x-1)² + 4           
5)
le nouveau delta sera  :    Δ = 16i     donc √Δ = 4i 

les racines complexes seront 
z ' = (-b - √Δ)/2a = (2-4i)/2 = 1 - 2i
z " = (-b - √Δ) / 2a = ( 2 + 4i)/2 = 1 + 2i

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