Bonsoir,
1. On a[tex]\sin\frac{\pi}{2}=1[/tex]... Ton idée est la bonne, mais pas ta solution. L'équation [tex]\sin x=-1[/tex] admet pour solutions les réels de la forme [tex]-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] et [tex]\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex] où [tex]k[/tex] est un entier relatif. Ainsi le domaine de définition de [tex]f[/tex] est [tex]\mathbf{R}[/tex] privé de l'ensemble de ces réels.
2. [tex]f[/tex] est périodique car [tex]\sin[/tex] et [tex]\cos[/tex] le sont.
3. Si f était impaire, alors on aurait f(0)=-f(0) donc f(0)=0. Or f(0)=1, donc f n'est pas impaire. Si f était paire, alors [tex]f(-\pi/2)[/tex] serait défini car [tex]f(\pi/2)[/tex] l'est.
4. En appliquant la formule [tex]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex], on trouve [tex]f'(x)=-\frac{1}{\sin x+1}\leq 0[/tex] pour tout [tex]x[/tex]. On en déduit la décroissance de [tex]f[/tex] sur l'intervalle étudié.
