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résolu

Bonsoir à tous ! J'ai besoin de votre aide s'il vous plaît !
Dans un repère on donne les points A(p;0) et B(0;q) où p et q sont des nombres réels avec (p;q) différent de (0;0)
Démontrez que le point C(1;1) appartient à la droite (AB) si et seulement si p + q = pq

Bonsoir À Tous Jai Besoin De Votre Aide Sil Vous Plaît Dans Un Repère On Donne Les Points Ap0 Et B0q Où P Et Q Sont Des Nombres Réels Avec Pq Différent De 00 Dé class=

Répondre :

LETEMPSVIZ
vectAB = (0-p;q-0)=(-p;q)
vectAC = (1-p;1-0)=(1-p;1)

C appartient à (AB) si et seulement si AB et AC sont colinéaires, autrement dit si et seulement si il existe un réel k tel que :

vectAB = k*vectAC

De cette relation on obtient un système de deux équations avec les coordonées :

-p=k(1-p)
q=k

on remplace k par q dans la première équation ce qui donne :

-p=q(1-p)

ou encore  -p=q -pq

ie p+q =pq    CQFD

et toute la démonstration s'est faite avec des "si et seulement si", donc les deux sens de l'équivalence ont bien été démontrés
Bonjour
Soit AB le vecteur (-p;q)
La droite AB a donc pour equation cartésienne:
py+qx+c=0

En remplacant x et y par les coordonnées de A on a:
p*0+q*p+c=0 donc qp=-c

En remplacant x et y par les coordonnées de B on a :
p*q+q*0+c=0 donc qp=-c.

Soit le point C(1:1)
Si il appartient a AB alors
p*1+q*1+c=0 soit p+q=-c

Donc effectivement, le point C appartient a  AB ssi p+q=p*q
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