Bonjour ;
Une petite remarque : tous les bipoints représentent des vecteurs .
1)
a) I est le milieu de [AB] , donc AI = IB ;
donc AI + IA = IA + IB ;
donc : AA = IA + IB ;
donc : 0 = IA + IB , le 0 est le vecteur nul .
b)
On a : MA = MI + IA et MB = MI + IB ;
donc : MA + MB = 2 MI + IA + IB = 2 MI ;
donc : MI = 1/2 (MA + MB) .
2)
a)
On a : MA' = 1/2(MB + MC) ;
MB' = 1/2(MC + MA) ;
MC' = 1/2(MA + MB) ;
b)
AA' = 1/2(AB + AC) ;
BB' = 1/2(BC + BA) ;
CC' = 1/2(CA + CB) ;
donc : AA' + BB' + CC' = 1/2(AB + AC + BC + BA + CA + CB)
= 1/2(AB + BA + AC + CA + BC + CB)
= 1/2 ( 0 + 0 + 0) = 0 : les 0 sont des vecteurs nuls .
c) G est le centre de gravité de ABC , donc :
AA' = 2/3 AG , BB' = 2/3 BG et CC' = 2/3 CG ;
donc : AA' + BB' + CC' = 2/3(GA + GB + GC) = 0 ;
donc : GA + GB + GC = 0 .
