Bonjour,
A(1;0) et M(x;y) ∈ C
1) voir figure ci-joint
Malheureusement on ne peut pas envoyer un fichier géogebra en lien.
On trouve AM(min) = 0,69 à 0,01 près
et abscisse de M : x = 0,5
AM² = (x - xA)² + (y - yA)²
⇔ AM² = (x - 1)² + (sin(x) - 0)² car M ∈ C donc y = sin(x)
⇔ AM² = (x - 1)² + sin²(x)
2)a)
f'(x) = 2(x - 1) + 2cos(x)sin(x)
f''(x) = 2 + 2[-sin(x)sin(x) + cos(x)cos(x)] = 2 + 2[cos²(x) - sin²(x)]
b) f"(x) = 2 + 2[2cos²(x) - 1] = 4cos²(x)
donc f"(x) ≥ 0 sur [0;π/2]
On en déduit :
x 0 π/2
f"(x) 4 + 0
f'(x) croissante
f'(0) = -2 et f'(π/2) = π - 2
c) -2 < 0 < π - 2
et f est strictement croissante sur [0;π/2]
⇒ il existe un unique a ∈ [0;π/2] tel que f'(a) = 0
On trouve : 0,5 < a < 0,6 à 0,1 près
3) a)
x 0 a π/2
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. crois.
b) On en déduit que f(x) est minimum pour x = a
et donc que AM est minimale pour M₀(a;sin(a))
4) Equation de la tangente à C au point M₀ :
y = f'(a)(x - a) + f(a) (attention on parle de f(x) = sin(x) et plus de la fonction f du 2) !!)
⇔ y = cos(a)(x - a) + sin(a) = cos(a)x - acos(a) + sin(a)
⇒ Coefficient directeur : A = cos(a)
Coefficient directeur de (AM₀) : B = (sin(a) - 0)/(a - 1) = -sin(a)/(1 - a)
A x B = -sin(a)cos(a)/(1 - a)
Or 2(a - 1) + 2sin(a)cos(a) = 0 d'après le 2)c)
⇒ a - 1 = -sin(a)cos(a)
⇔ 1 - a = sin(a)cos(a)
Donc A x B = -sin(a)cos(a)/sin(a)cos(a) = - 1
donc (AM₀) est perpendiculaire à la tangente à C en M₀.
