Bonjour ;
1)
a)
Le volume v de la canette est : πx²h .
On a v = 33 cL = 330 mL = 330 cm^3 .
v = πx²h ⇒ h = v/(πx²) = 300/(πx²) .
b)
A(x) = πx² + πx² + 2πxh
= 2πx² + 2πx * 300/(πx²) = 2πx² + 660/x .
c)
A ' (x) = 4πx - 660/x² = (4πx^3 - 660)/x² .
2)
a)
g ' (x) = 12πx² > 0 , donc g est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ .
b)
g(α) = 0 ⇒ 4πα^3 - 660 = 0 ⇒ 4πα^3 = 660
⇒ α^3 = 660/(4π) = 165/π ⇒ α = ∛(165/π) ≈ 3,75 .
Comme g est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ , alors α est unique .
on a donc : ∀ x ∈ ] 0 ; α [ , g(x) < 0 et ∀ x ∈ ] α ; + ∞ [ , g(x) > 0 .
Pour le tableau de variation , on peut le tracer en utilisant
les informations suivantes :
Comme A ' (x) = (4πx^3 - 660)/x² = g(x)/x² ,
donc : ∀ x ∈ ] 0 ; α [ , A ' (x) < 0 et ∀ x ∈ ] α ; + ∞ [ , A ' (x) > 0 ,
donc : ∀ x ∈ ] 0 ; α [ , A est strictement décroissante
et ∀ x ∈ ] α ; + ∞ [ , A est strictement croissante .
A(α) = A(3,75) ≈ 421,07 cm^3 : c'est l'aire minimale .
3)
x = α = 3,75 cm .
h = 300/(π*3,75²) ≈ 7,47 cm .
