bonjour.
je te propose la démarche suivante:
- calculer l'aire du massif.
- calculer l'aire de chaque zone arrosée.
- faire le rapport entre les deux.
** aire du massif
je découpe le massif en 2 rectangles: BDLI et BIKJ.
aire(BDLI) = 40*60 = 2400 cm².
comme B et I sont au milieu des segments [JD] et [KL], on a
aire(BIKJ) = aire(BDLI) = 2400 cm².
je repère maintenant 3 triangles rectangles: JEF, FIK et CLI. tous ces triangles ont des côtés de même longueur, donc la même aire.
par ailleurs aire(JEF) = 20*40/2 = 400 cm².
pour calculer l'aire du massif, je vais donc ajouter les aires des 2 rectangles, et retirer les aires des 3 triangles.
donc aire(massif) = 2*2400 - 3*400 = 3600 cm².
** aire des zones arrosées
je vois 3 zones arrosées sur le dessin, que j'appelle:
Za pour celle centrée sur A.
Zd pour celle qui implique D.
Zf pour celle centrée sur F.
je constate que le rayon du cercle centré sur A est de 20cm, donc je peux calculer aire(Za) = pi*20² = 400pi.
le rayon de Zd est également de 20cm, mais la surface arrosée représente un demi-cercle, donc Zd = (pi*20²)/2 = 200pi.
pour la zone Zf, je dois calculer l'aire balayée par l'arc de cercle allant de H à G, centré sur F.
je vais commencer par vérifier si (FH) est perpendiculaire à ((FI) car si c'est le cas, l'aire arrosée correspondra au quart de l'aire du cercle centré sur F.
on sait que 2 droites sont perpendiculaires si le produit de leur pente est égal à -1.
je pose comme principe que K est l'origine d'un repère orthonormé, dans lequel chaque point possède des coordonnées, et en l'occurrence:
F(0;20) G(20;10) I(40;0) H(10;40) et E(20;60).
la droite (FE) est décrite par y = ax +b avec:
20 = 0 +b (donc b = 20) et 60 = 20a +20, donc a = 2.
la droite (FE) est donc de pente 2.
la droite (FI) est décrite par y = a'x +b' avec:
20 = 0 +b' (donc b' = 20) et 0 = 40a +20, donc a' = -1/2.
la droite (FI) est donc de pente -0,5.
par conséquent, le produit des pentes des droites (FE) et (FI) est 2*(-0,5) < 0. donc les droites (FE) et (FI) sont perpendiculaires, donc la Zf est un quart de cercle.
pour calculer l'aire de cette zone, il faut maintenant calculer le rayon de ce cercle,et ce rayon est FH = FG. en gardant le principe de repère orthonormé utilisé plus haut, je peux calculer la longueur FH par:
FH = racine[(xH - xF)² + (yH - yF)²] = racine[(10-0)² + (40-20)²] = racine(100+400) = racine(500).
donc aire(zF) = [pi*[racine(500)]²] / 4 = 500pi/4.
** calcul du rapport
on peut dorénavant calculer le pourcentage attendu, car:
aire(zA) = 400pi
aire(zD) = 200pi
aire(zF) = 500pi/4
donc aire(arrosage) = 400pi + 200pi + 500pi/4 = 1450pi/2 proche de 2276 cm², en prenant pi = 3,14.
donc le rapport se calcule par 2276/3600 = 0,63.
donc avec la disposition des arroseurs décrite dans l'énoncé, le massif sera arrosé à 63%.
bonne journée.
