Bonjour,
enfin un exo rigolo ;)
a ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}
A = {a;2a;3a;...;12a}
1) Soit k et k' entiers tels que : 1 ≤ k ≤ 12 et 1 ≤ k' ≤ 12 et k ≠ k'
Deux éléments distincts de A peuvent alors se noter : ka et k'a
ka = 13q + r
k'a = 13q' + r'
Supposons r = r'
Alors, (k - k')a = 13(q - q')
⇒ a divise 13
ou (k - k') divise 13
[ ou a = 0 impossible car a ≠ 0 par définition de a
ou k = k' impossible également par définition de k et de k' ]
Les diviseurs de 13 strictement inférieurs à 13, sont 1 et 13
. a = 13 et (k - k') = 13 impossibles par définition de a,k et k'
. a = 1 ⇒ (k - k') = 13(q - q')
⇒ k = k' car ∀ (k,k'), (k - k') < 13 donc impossible car k≠k'
. (k - k') = 13 impossible pour la même raison
Et donc l'hypothèse r = r' est incohérente.
⇒ r ≠ r'
1 ≤ a ≤ 12 ⇔ 12 ≤ 12a ≤ 144
⇒ Chaque élément de A a un reste différent dans la division euclidienne par 13. Et A comprend 12 éléments.
⇒ Il y a 12 restes possibles à la division d'un élément de A par 13 et deux éléments distincts de A n'ont pas le même reste dans leur division par 13.
2) Soit a' ∈ N tel que a' < 13
aa' ∈ A et aa' = 13k + 1 ⇒ a' est unique d'après la question précédente puisque chaque élément de A a un reste unique dans la division par 13.
a = 2 ⇒ 2a' = 13k + 1 ⇒ a' = (13k + 1)/2 ⇒ k = 1 ⇒ a' = 7
a = 3 ⇒ 3a' = 13k + 1 ⇒ a' = (13k + 1)/3 ⇒ k = 2 ⇒ a' = 9
etc ...
Voir tableau ci-joint
Pour 2 ≤ a ≤ 11, on trouve les 5 couples (a,a') suivants :
(2,7), (3,9), (4,10), (5,8) , (6,11)
Pour a = 1, il n'existe pas de a' / aa' = 13k + 1
Pour a = 12, a' = a = 12 : 12x12 = 144 = 13x11 + 1
3) soit n et n' deux entiers tels que :
n = 13k + 1
n' = 13k' +1
nn' = (13k + 1)(13k' + 1) = 169kk' + 13k + 13k' + 1 = 13(13kk' + k + k') + 1
Donc le reste de la division de nn' par 13 est 1.
4) 11! = 11 x 10 x 9 x.... x 3 x 2 x 1
= (11 x 6) x (10 x 4) x (9 x 3) x (8 x 5) x (7 x 2)
Les restes de la division par 13 des produits (11 x 6), (10x 4), etc.. valent tous 1
donc 11! = (13k₁ + 1)(13k₂ + 1)(13k₃ + 1)(13k₄ + 1)(13k₅ + 1)
D'après la question précédente, le reste du produit de 2 entiers dont le reste est 1 dans la division par 13, est 1 dans la division par 13.
Donc le reste de la division de 11! par 13 est 1.
On en déduit :
12! + 1 = 12 x 11! + 1
= 12 x (13q + 1) + 1
= 12x13q + 13
= 13(12q + 1)
Donc (12! + 1) est divisible par 13
