Bonjour,
65)
a) Df = R
f est de la forme u x v avec :
u(x) = e^x/2 ⇒ u'(x) = 1/2 * e^x
et v(x) = x² - 1 ⇒ v'(x) = 2x
⇒ f' = u'v + uv'
soit f'(x) = 1/2 * e^x * (x² - 1) + 1/2 * e^x * 2x
⇔ f'(x) = 1/2 * e^x * [x² + 2x - 1]
b) Df = R*
de la forme u/v
u(x) = e^x + 2 ⇒ u'(x) = e^x
v(x) = 1 - e^x ⇒ v'(x) = -e^x
f' = (u'v - uv')/v²
soit f'(x) = [e^x(1 - e^x) + (e^x + 2)e^x]/(1 - e^x)² = e^x(1 - e^x + e^x + 2)/(1 - e^x)² = 3e^x/(1 - e^x)²
66) a) Df = R+ et f'(x) = 1/2√x + 3e^x
b) Df = R
u(x) = x(1 - e^x) ⇒ u'(x) = 1 - e^x - xe^x
v(x) = e^x ⇒ v'(x) = e^x
f'(x) = [e^x(1 - e^x - xe^x) - xe^x(1 - e^x)]/(e^x)²
= (e^x - e^2x - xe^2x - xe^x + xe^2x)/e^2x
= e^x(1 - e^x - x)/e^2x
= (1 - e^x - x)/e^x
67) Df = ]-∞;1]
u(x) = e^x ⇒ u'(x) = e^x
v(x) = √(1 - x) ⇒ v'(x) = -1/2√(1 - x)
f'(x) = e^x * √(1 - x) + e^x * √(1 - x)/2 = 3/2 * e^x * √(1 - x)
b) f'(x) = e^x√x + e^x/2√x) = e^x[√x + 1/2√x]
