Bonjour,
Ex 95)
a) g(0) = 6 et g'(0) = -2
b) g'(x) = 1 + kae^(ax)
c) g(0) = 6 ⇒ 0 + k = 6 ⇒ k = 6
g'(0) = 1 + ka = 1 + 6a
⇒ 1 + 6a = -2 ⇒ a = -3/6 = -1/2
soit g(x) = x + 6e^(-x/2)
d) g(x) - x
= 6e^(-x/2)
Donc g(x) - x > 0 sur R
Donc g(x) > x
Donc C est toujours au dessus de (D)
Ex 81
1) a) f(x) = (x² - x + 1)e⁻ˣ
de la forme u x v avec :
u(x) = x² - x + 1 ⇒ u'(x) = 2x - 1
v(x) = e⁻ˣ ⇒ v'(x) = -e⁻ˣ
f' = u'v + uv'
soit f'(x) = (2x - 1)e⁻ˣ + (x² - x + 1)(-e⁻ˣ)
= (2x - 1 - x² + x - 1)e⁻ˣ
= (-x² + 3x - 2)e⁻ˣ
b) le signe de f' ne dépend que du signe de (-x² + 3x - 2) car e⁻ˣ > 0 sur R
Δ = 3² - 4x(-1)x(-2) = 9 - 8 = 1 = 1²
donc 2 racines : x = (-3 - 1)/2 = -2 et x = (-3 + 1)/2 = -1
⇒ (-x² + 3x - 2) = -(x + 2)(x + 1)
x -∞ -2 -1 +∞
x + 2 - 0 + +
x + 1 - - 0 +
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) décrois. croiss. décrois.
2) T : y = f'(0)x + f(0)
f'(0) = -2 et f(0) = 1
donc T : y = -2x + 1
3) ci-joint (pas à l'échelle demandée)
4) a) on conjecture 3 intersections donc 3 solutions sur [0;8] de l'équation f(x) = 0,4
Voir f(x) = 0,4
b) on trouve x ≈ 2,30 à 0,01 près
