Bonsoir ;
A)
Quand la fonction représentée par la courbe en pointillées est négative ,
la fonction représentée par la courbe en trait plein est décroissante ;
et quand la fonction représentée par la courbe en pointillées est positive,
la fonction représentée par la courbe en trait plein est croissante ;
donc la courbe représentée par la courbe en pointillées est la dérivée
de la fonction représentée par la courbe en trait plein ;
donc la fonction h = H' est représentée par la courbe en pointillées ,
et la fonction H est représentée par la courbe en trait plein .
B)
1)
[tex]g ' (x) = e^{- x^2} + x(-2xe^{- x^2} ) = e^{- x^2} - 2x^2e^{- x^2} = (1 - 2x^2)e^{- x^2} .[/tex]
[tex]g ' (x) = 0 \Rightarrow 1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} . [/tex]
Le tableau de variation ci-joint , montre que g admet un
maximum α = g(√2/2) ≈ 0,18 .
2)
a)
g est continue sur IR .
g(0) = - 1/4 < 0 et g(√2/2) ≈ 0,18 > 0 , donc g(0) g(√2/2) < 0 ,
donc par le Théorème des valeurs intérmédiaires (TVI)
il existe α ∈ ] 0 ; √2/2 [ tel que g(α) = 0 .
g(2) ≈ - 0,23 < 0 et g(√2/2) ≈ 0,18 > 0 , donc g(2) g(√2/2) < 0 ,
donc par le Théorème des valeurs intérmédiaires (TVI)
il existe β ∈ ] √2/2 ; 2 [ tel que g(β) = 0 .
