1) f est dérivable sur R\(-1) car le numérateur et le dénominateur sont des fonctions polynomes donc c'et dérivable sur R. On enlève -1 car cette valeur annule le dénominateur
f(x) = u/v
f '(x) = (u'v - uv') / v²
u = x² - x + 1
u' = 2x - 1
v = x + 1
v' = 1
f '(x) = ((2x - 1)(x + 1) - (x² - x + 1)) / (x + 1)²
= (2x² + 2x - x - 1 - x² + x - 1) / (x + 1)²
= (x² + 2x - 2) / (x + 1)²
2) T : y = f '(0) (x - 0) + f(0)
= -2 (x - 0) + 1
= -2x + 1
3) a) D : y = f '(b)(x - b) + f(b)
Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur :
Coefficient directeur de T : -2
Coefficient directeur de D : f '(b)
f '(b) = -2
(b² + 2b - 2) / (b + 1)² = -2
(b² + 2b - 2) = -2 (b + 1)² C'est bien ce qu'on demandait !
b) (b² + 2b - 2) = -2 (b + 1)²
b² + 2b - 2 + 2(b + 1)² = 0
b² + 2b - 2 + 2(b² + 2b + 1) = 0
b² + 2b - 2 + 2b² + 4b + 2 = 0
3b² + 6b = 0
3b (b + 2) = 0
Soit 3b = 0 et donc b = 0
Soit b + 2 = 0 donc b = -2
Pour b = 0, c'est l'équation de T
Pour b = -2 : f(-2) = -7 et f '(-2) = -2
D : y = -2 (x - (-2)) + (-7)
= -2 (x + 2) - 7
= -2x - 4 - 7
= -2x - 11
Voilà ! :)
