Bonjour,
1) 0 ≤ x ≤ 10 ⇒ x ∈ [0;10]
2)
a) Aire ABE = (AB x AE)/2 = 10x/2 = 5x
b) Aire FCB = (FC x CB)/2 = 10(10 - x)/2 = 5(10 - x)
c) Aire DFE = (DF x DE)/2 = x(10 - x)/2
3) Aire BFE = Aire ABCD - Aire ABE - Aire FCB - Aire DFE
⇒ f(x) = 100 - 5x - 5(10 - x) - x(10 - x)/2
⇔ f(x) = 100 - 5x - 50 + 5x - 5x + x²/2
⇔ f(x) = x²/2 - 5x + 50
4)a)
voir ci-joint
b) Le minimum semble être 37,5 et est atteint pour x = 5
c) 0,5(x - 5)² + 37,5
= 0,5(x² - 10x + 25) + 37,5
= 0,5x² - 5x + 12,5 + 37,5
= x²/2 - 5x + 50
= f(x)
d) (x - 5)² est minimum quand x = 5 car alors (x - 5)² = 0² = 0
donc 0,5(x - 5)² + 37,5 est minimum quand x = 5
c'est-à-dire que f(5) est le minimum de f sur son ensemble de définition (R)
5) voir courbe ci-joint
6)
x 0 5 10
f(x) 50 décroissante 37,5 croissante 50
7) a) 1 ≤ x ≤ 2
Sur cet intervalle, f est décroissante.
Donc f(1) ≥ f(x) ≥ f(2)
Soit 45,5 ≥ f(x) ≥ 42
b) 7 ≤ x ≤ 8
Sur cet intervalle, f est croissante
Donc f(7) ≤ f(x) ≤ f(8)
Soit 39,5 ≤ f(x) ≤ 42
8) f(x) = 40
on trace la droite y = 40
on trouve : x ≈ 2,7 et x ≈ 7,2
b) f(x) > 40 ⇒ x ∈ [10 ; 2,7[ ∪ ]7,2 ; 10]
9)
a) L'aire minimale de BFE est de 37,5 cm²
Et il faut alors AE = 5 cm
b) Quand la distance AE augmente, l'aire de BFE diminue jusqu'à ce que AE soit égale à 5cm. Puis l'aire augmente de nouveau.
c) Quand 1 cm ≤ AE ≤ 2 cm, 45 ≥ f(x) ≥ 42
donc 45 cm² ≥ Aire BFE ≥ 42 cm²
d) Quand 7 cm ≤ AE ≤ 8 cm, 39,5 ≤ f(x) ≤ 42
donc 39,5 cm² ≤ Aire BFE ≤ 42 cm²
e) Aire BFE = 40 cm² ⇔ f(x) = 40
⇒ x = 2,7 ou 7,2 cm
⇒ AE = 2,7 cm ou 7,2 cm
f) il faut 0 ≤ AE ≤ 2,7 ou 7,2 ≤ AE ≤10
h) Sur l'intervalle [5;10], la fonction f est croissante.
Donc f(5,3) ≤ f(5,5)
Donc l'aire de BFE est plus grande quand AE = 5,5 cm
